M. Kreuzer Sommersemester 02 A. Fischer

Übungsaufgaben zur Vorlesung “Lineare Algebra II” für Lehramt

Blatt 13 Abgabe bis 16.7.02 um 10.00 Uhr

Aufgabe 1

Sei K ein Körper und V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum. Finden Sie eine Parameterdarstellung des affinen Unterraums V = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | 2x + y − 3z = 1} von 𝔸_{ℝ}^{3}.

Aufgabe 2

Sei K ein Körper und V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum. Sei F : 𝔸(V) ⟶ 𝔸(V) eine affine Abbildung, so dass 1 kein Eigenwert der K-linearen Abbildung T (F) : T (V) ⟶ T (V) ist. Zeigen Sie, dass F genau einen Fixpunkt besitzt.

Aufgabe 3

Sei K ein Körper und V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum. Eine affine Abbildung F : 𝔸(V) ⟶ 𝔸(V) heißt Dilatation, wenn es ein λ ∈ K gibt mit T (F) = λ · id_{T (V)}. Beweisen Sie, dass jede Dilatation mit zwei verschiedenen Fixpunkten die Identität ist.

Aufgabe 4

Sei K = 𝔽_{2} der Körper mit zwei Elementen.

a) Zeigen Sie, dass jede bijektive Abbildung 𝔸_{K}^{2} ⟶ 𝔸_{K}^{2} eine Affinität ist.

b) Zeigen Sie, dass es Kollineationen F : 𝔸_{K}^{3} ⟶ 𝔸_{K}^{3} gibt, die nicht affin sind.