M. Kreuzer Sommersemester 02 A. Fischer

Übungsaufgaben zur Vorlesung “Lineare Algebra I” für Lehramt

Blatt 1 Abgabe bis 23.4.02 um 10.00 Uhr

Aufgabe 1

Bestimmen Sie zwei verschiedene Paare (x, y) ∈ ℤ^{2}, so dass x · 347 + y · 37 = ggT (349, 37).

Aufgabe 2

Sei A ∈ M_{4,4}(ℤ/7ℤ), A := ( \begin{matrix}2 & 7 & 5 & 4 \\ 1 & 4 & 6 & 4 \\ 0 & 1 & 8 & 3 \\ 1 & 1 & 3 & 2 \end{matrix} )

a) Sei U ⊆ (ℤ/7ℤ)^{4} das lineare Erzeugnis der Zeilenvektoren von A. Bestimmen Sie eine Basis von U und begründen Sie, in welchem Zusammenhang dies mit der Matrix A steht.

b) Bestimmen Sie eine Basis von Kern f_{A} und von Bild f_{A}.

Aufgabe 3

Sei V ein ℚ−Vektorraum mit Basis v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}, sei U := {α(v_{1} + v_{2}) + β(v_{2} + v_{3}) + γ(v_{1} − v_{3}) | α, β, γ ∈ ℚ}, W := {α(v_{1} + 2v_{2}) + β(v_{1} + 2v_{4}) + γv_{2} + v_{4} | α, β, γ ∈ ℚ},

a) Untersuchen Sie, ob U und W Untervektorräume von V sind, und geben Sie gegebenenfalls jeweils eine Basis an. (mit Nachweis)

b) Geben Sie eine injektive lineare Abbildung f : U ⟶ V an.