M. Kreuzer Sommersemester 02 A. Fischer

Übungsaufgaben zur Vorlesung “Lineare Algebra I” für Lehramt

Blatt 3: Abgabe bis 7.5.02 um 10.00 Uhr

Aufgabe 1

Invertieren Sie die Matrix A ∈ M_{3,3}(ℝ) mit A := ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 6 & 14 \\ 2 & 4 & 7 \end{matrix} )

Aufgabe 2

Invertieren Sie die Matrix B ∈ M_{4,4}(ℝ) mit B := ( \begin{matrix}1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \\ 1 & c & c^{2} \end{matrix} ), a, b, c ∈ ℝ .

Hinweis: Durch Ausklammern kann man Terme vereinfachen!

Aufgabe 3

Sei ein Stromkreislauf wie er auf Blatt 2, Aufgabe 2 beschrieben ist, gegeben und sei M die zugehörige Matrix. Beweisen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

(i) Das Licht ist stets ausschaltbar. (ii) M ist invertierbar.

Aufgabe 4

Sei det : Mat_{n}(K) ⟶ K die Determinantenfunktion. Zeigen Sie mit Hilfe der Definition der Determinantenfunktion: Für eine Matrix M ∈ Mat_{n}(K) gilt:

i) Sind v, w zwei Zeilenvektoren von M, die in verschiedenen Zeilen stehen, so ändert sich det(M) nicht, wenn man v durch v + λw für beleibiges λ ∈ K ersetzt. ii) det(M) = 0 ⟺ die Zeilen von M sind linear abhängig.