M. Kreuzer Sommersemester 02 A. Fischer

Übungsaufgaben zur Vorlesung “Lineare Algebra I” für Lehramt

Blatt 5 Abgabe bis 19.5.02 um 10.00 Uhr

Aufgabe 1

Seien A, B ∈ Mat_{n}(K). Beweisen Sie: Wenn A nicht invertierbar ist, dann ist das Produkt AB nicht invertierbar.

(Tipp: Begründen Sie, warum f_{A} nicht surjektiv ist, wenn A nicht invertierbar ist.)

Aufgabe 2

Sei f : ℝ^{2} ⟶ ℝ^{2} die Abbildung, welche jeden Punkt der Ebene an der Ursprungsgeraden spiegelt, die mit der positiven x_{1}−Achse den Winkel \frac{α}{2} bildet, und sei g : ℝ^{2} ⟶ ℝ^{2} die zugehörige Vektorraumabbildung, die wir erhalten, wenn wir die Koordinaten der Punkte der Ebene als Koordinaten von Vektoren auffassen.

a) Begründen Sie geometrisch: g ist eine lineare Abbildung.

b) Zeigen Sie, dass die zu g gehörige Matrix M(g) die folgende Gestalt hat:

M(g) = ( \begin{matrix}cosα & sinα \\ sinα & −cosα \end{matrix} )

Aufgabe 3

Im ℝ^{2} seien die Basen A = ((1, −1), (2, 3)) und B = ((4, 2), (−2, 3)) gegeben.

a) Berechnen Sie die Transformationsmatrix T_{B}^{A}.

b) Bestimmen Sie die Koordinaten den Vektors v = 3 · (1, −1) + 2 · (2, 3) bzgl. der Basis B.

Aufgabe 4

Auf Mat_{n}(K) bedeute die Relation A ∼ B, dass die Matrizen A und B ähnlich sind.

Zeigen Sie, dass ∼ eine Äquivalenzrelation ist.