M. Kreuzer Sommersemester 02 A. Fischer

Übungsaufgaben zur Vorlesung “Lineare Algebra I” für Lehramt

Blatt 6 Abgabe bis 27.5.02 um 10.00 Uhr

Aufgabe 1

Sei f : ℝ^{2} ⟶ ℝ^{2} die Drehung um den Ursprung um den Winkel α ∈ [0, 2π].

a) Begründen Sie geometrisch, warum f eine ℝ-lineare Abbildung ist, und stellen Sie die Matrix von f auf (mit Beweis).

b) Zeigen Sie, dass f keine Eigenvektoren besitzt, und folgern Sie, dass f nicht trigonalisierbar ist.

Aufgabe 2

Beweisen Sie, dass jede Matrix M ∈ Mat_{m,n}(K) vom Rang r äquivalent ist zur Matrix

( \begin{matrix}I_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ).

Aufgabe 3

Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum, sei f : V ⟶ V eine K-lineare Abbildung, und sei λ ∈ K ein Eigenwert von f.

a) Erklären Sie, wie man eine K-Basis von Eig(f, λ) effektiv berechnen kann.

b) Finden Sie die Eigenwerte und Eigenräume der Matrix ( \begin{matrix}−5 & 0 & 7 \\ 6 & 2 & −6 \\ −4 & 0 & 6 \end{matrix} ).

Aufgabe 4

Gegeben sei die Matrix M := ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & −1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} )

a) Berechnen Sie das charakteristische Polynom der durch M gegebenen ℚ-linearen Ab-

bildung f : ℚ^{4} ⟶ ℚ^{4}.

b) Zeigen Sie, dass f die Eigenwerte λ_{1} = 1 und λ_{2} = −1 besitzt, und bestimmen Sie die zugeghörigen Eigenräume.

c) Ergänzen Sie Basen dieser Eigenräume zu einer Basis von ℚ^{4}, stellen Sie die Matrix von f bzgl. dieser Basis auf, und berechnen Sie damit χ_{f}(x) erneut.

**Aufgabe 5**

Führen Sie die nachfolgenden Schritte in einer Maple-Sitzung aus, speichern Sie das Resultat als Maple-Worksheet und senden Sie es per e-mail an mich. (astrid.fischer@math.unidortmund.de)

a) Starten Sie eine Maple-Sitzung und laden Sie das Paket “Linear Algebra”.

b) Definieren Sie die MatrixM aus Aufgabe 4a.

c) Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von M.

d) Berechnen Sie das charakteristische Polynom von M und lassen Sie es faktorisieren.

e) Entscheiden Sie mit Hilfe der berechneten Resultate, ob M diagonalisierbar oder trigonalisierbar ist.