M. Kreuzer Sommersemester 02 A. Fischer

Übungsaufgaben zur Vorlesung “Lineare Algebra I” für Lehramt

Blatt 7 Abgabe bis 3.6.02 um 10.00 Uhr

Aufgabe 1

Gegeben sei f : V ⟶ V mit Matrix ( \begin{matrix}0 & & 0 & α_{1} \\ 1 & ... & & ⋮ \\ & ... & 0 & α_{n−1} \\ 0 & & 1 & α_{n} \end{matrix} ). Zeigen Sie mit Hilfe von

vollständiger Induktion, dass χ_{f}(x) = (−1)^{n}[x^{n} − α_{n}x^{n−1} − ... − α_{1}].

Aufgabe 2

Sei f : V ⟶ V eine K-lineare Abbildung von der Gestalt M_{V} (f) = ( \begin{matrix}A & 0 \\ 0 & B \end{matrix} ), mit

A ∈ Mat_{m}(K), B ∈ Mat_{l}(K) und m + l = dim V. Zeigen Sie, dass χ_{f}(x) = χ_{A}(x) · χ_{B}(x).

Aufgabe 3

Bestimmen Sie das Minimalpolynom der Matrix M := ( \begin{matrix}0 & 1 & & 0 \\ & ... & ... \\ & & & 1 \\ 0 & & & 0 \end{matrix} ).

(Tipp: Berechnen Sie M^{2}, M^{3}, etc.)

Aufgabe 4

a) Was ist eine Drehung des dreidimensionalen Raums? Erklären Sie die Begriffe “Achse” und “Drehwinkel”.

b) Durch welche Matrizen werden Drehungen im Raum ℝ^{3} beschrieben, deren Drehachse die x_{3}-Achse ist?

c) Welche Eigenwerte und Eigenräume hat eine Matrix wie in b)? Unterscheiden Sie die beiden Fälle, ob der Drehwinkel 180 Grad beträgt oder nicht.

**Aufgabe 5**

Schreiben Sie eine Maple-Prozedur “MinPoly(M_{f})”, die bei gegebener Matrix M_{f} ∈ Mat_{n}(ℚ) das Minimalpolynom der zugehörigen ℚ-linearen Abbildung f : ℚ^{n} ⟶ ℚ^{n} bestimmt. Hinweis: Gehen Sie dazu wie folgt vor: Berechnen Sie der Reihe nach M_{f}^{2}, M_{f}^{3}, ... und prüfen Sie jeweils, ob die Matrizen I_{n}, M_{f}, M_{f}^{2}, ..., M_{f}^{m} linear unabhängig sind.

Schicken Sie mir Ihr Programm bitte nicht über e-mail, sondern drucken es aus und geben es mit den anderen Aufgaben zusammen ab.