M. Kreuzer Sommersemester 02 A. Fischer

Übungsaufgaben zur Vorlesung “Lineare Algebra I” für Lehramt

Blatt 8 Abgabe bis 11.6.02 um 10.00 Uhr

Aufgabe 1

Sei ϕ : K^{2} × K^{2} ⟶ K die durch ϕ(( \begin{matrix}a \\ b \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}c \\ d \end{matrix} )) = ad − bc definierte Abbildung.

a) Zeigen Sie, dass ϕ eine Bilinearform ist.

b) Geben Sie die Gram’sche Matrix von ϕ bzgl. der Standardbasis an.

c) Beweisen Sie, dass ϕ nicht ausgeartet ist.

d) Zeigen Sie, dass ϕ(v, v) = 0 für alle v ∈ K^{2}.

Aufgabe 2

Seien v, w ∈ K^{n} mit w ≠ 0. Die Punktemenge L := {v + λw | λ ∈ K} heißt die Gerade durch v in Richtung w. Ein Vektor u ∈ K^{n} heißt orthogonal zu L, wenn für alle p, q ∈ L gilt ϕ(u, p − q) = 0. Hierbei sei ϕ das Standardskalarprodukt.

a) Beweisen Sie, dass ein Vektor u ∈ K^{n} genau dann zu L orthogonal ist, wenn u⊥w gilt.

b) Zeigen Sie, dass G := {(x_{1}, x_{2}) ∈ K^{2} | ax_{1} + bx_{2} = c} bei vorgegebenen a, b, c ∈ K

mit (a, b) ≠ (0, 0) eine Gerade in K^{2} ist, und dass der Vektor ( \begin{matrix}a \\ b \end{matrix} ) auf dieser Geraden

senkrecht steht.

Aufgabe 3

Sei K ein Körper mit 1 + 1 ≠ 0. Zeigen Sie, dass sich jede Bilinearform ϕ : V × V ⟶ K in eindeutiger Weise als Summe einer symmetrischen und einer schiefsymmetrischen Bilinearform darstellen lässt.

Aufgabe 4

Gegeben seien (a_{1}, a_{2}, a_{3}), (b_{1}, b_{2}, b_{3}) ∈ K^{3} \ {0} und die zugehörigen Linearformen φ, ψ : K^{3} ⟶ K mit φ((c_{1}, c_{2}, c_{3})) := a_{1}c_{1} + a_{2}c_{2} + a_{3}c_{3} und ψ((c_{1}, c_{2}, c_{3})) := b_{1}c_{1} + b_{2}c_{2} + b_{3}c_{3}.

a) Zeigen Sie, dass die Abbildung ϕ : K^{3} × K^{3} ⟶ K mit ϕ(v, w) := φ(v) · ψ(w) eine Bilinearform ist.

b) Finden Sie die Gram’sche Matrix von ϕ bzgl. der Standardbasis von K^{3}.

c) Für welche (a_{1}, a_{2}, a_{3}), (b_{1}, b_{2}, b_{3}) ∈ K^{3} \ {0} ist ϕ nicht ausgeartet?