M. Kreuzer Sommersemester 02 A. Fischer

Übungsaufgaben zur Vorlesung “Lineare Algebra I” für Lehramt

Blatt 9 Abgabe bis 18.6.02 um 10.00 Uhr

Aufgabe 1

Sei V ein euklidischer Vektorraum. Beweisen Sie die Parallelogrammgleichung ∥v + w∥^{2} + ∥v − w∥^{2} = 2∥v∥^{2} + 2∥w∥^{2} für v, w ∈ V.

Aufgabe 2

Sei n ≥ 2.

a) Beweisen Sie, dass durch ∥ ∥_{∞} : ℝ^{n} ⟶ ℝ mit ∥(a_{1}, ..., a_{n})∥_{∞} := max{|a_{i}| : 1 ≤ i ≤ n} eine Norm auf ℝ^{n} definiert wird.

b) Zeigen Sie, dass es kein Skalarprodukt < , > auf ℝ^{n} gibt mit ∥v∥_{∞} = \sqrt{< v, v >} für v ∈ ℝ^{n}.

(Tipp: Verwenden Sie Aufgabe 1)

Aufgabe 3

Sei V ein euklidischer Vekrorraum und sei f : V ⟶ V eine ℝ-lineare Abbildung. Für zwei Vektoren v, w ∈ V \ \{0\} heißt ∠(v, w) := arccos \frac{<v,w>}{∥v∥·∥w∥} der Winkel zwischen v und w. Die Abbildung f heißt winkeltreu, wenn f injektiv ist und für alle v, w ∈ V \ {0} gilt ∠(f(v), f(w)) = ∠(v, w). Beweisen Sie, dass f winkeltreu ist, wenn es eine orthogonale ℝ-lineare Abbildung g : V ⟶ V und ein λ ∈ ℝ, λ ≠ 0 gibt mit f = λ · g.

Aufgabe 4 Sei V ein euklidischer Vektorraum und sei f : V ⟶ V eine ℝ-lineare

Abbildung. Zeigen Sie, dass die folgenden Bedingungen äquivalent sind:

a) f ist orthogonal.

b) Für alle v ∈ V gilt ∥f(v)∥ = ∥v∥.

c) Ist V = (v_{1}, ..., v_{n}) eine Basis von V, so gilt < f(v_{i}), f(v_{j}) >=< v_{i}, v_{j} > für i, j = 1, ..., n.

**Aufgabe 5**

Schreiben Sie eine Maple Prozedur “SchmidtoV (V)”, die ausgehend von einer Basis V des ℝ^{n} mit Hilfe des Orthonormalisierungsverfahrens eine Orthonormalbasis des ℝ^{n} bzgl. des Standardskalarprodukts berechnet. Wenden Sie Ihre Funktion “SchmidtoV (V)” in den folgenden Fällen an:

a) Beispiel 13.11 der Vorlesung

b) V bestehe aus den Spalten der Matrix

M := ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & & n \\ & ... & ... & ... \\ & & ... & ... & 3 \\ & & & ... & 2 \\ 0 & & & & 1 \end{matrix} ).