Prof. Dr. M. Kreuzer Abgabetermin: 08.11.2002, 9.00 Uhr

Lineare Algebra I

Übungsblatt 3

Aufgabe 1 (P): (Es macht Spaß, in Vierergruppen zu tafeln.) Bestimmen Sie mit Hilfe der Gruppentafeln (bis auf Isomorphie) alle Gruppen mit vier Elementen. Welche davon sind abelsch?

Aufgabe 2 (P): (Gruppenhomomorphismus: die irrationale Angst davor, sich in ein Groupie zu verwandeln.) Seien G, H Gruppen und sei f : G → H ein Gruppenhomomorphismus.

a) Zeigen Sie, dass Kern(f) = f^{−1}(e_{H}) eine Untergruppe von G ist. Sie heißt der Kern von f.

b) Beweisen Sie, dass Bild(f) eine Untergruppe von H ist.

c) Sei U = Kern(f). Zeigen Sie, dass für ein Element a ∈ G mit inversem Element ã ∈ G gilt aUã = U.

Aufgabe 3 (P): (Die S_{3} ist keine 6–Gruppe)

a) Geben Sie die Elemente der Gruppe S_{3} explizit an.

b) Stellen Sie die Gruppentafel von S_{3} auf.

c) Bestimmen Sie alle Untergruppen von S_{3}.

Aufgabe 4 (D+L): (Mathe–Probleme? Rufen Sie 0190/(q^{r} − 1 mod p) an!)

a) Sei n ∈ ℕ_{+}. Zeigen Sie, dass die Menge der Restklassen ℤ/nℤ\{0 + nℤ} durch die Definition (a + nℤ) · (b + nℤ) = ab + nℤ zu einem kommutativen Monoid wird.

b) Sei nun n = p eine Primzahl. Beweisen Sie, dass es für jede Zahl q ∈ ℤ\pℤ ein r ≥ 0

gibt mit

q^{r} ≡ 1 (mod p).

Tipp: Betrachten Sie q(mod p), q^{2}(mod p), q^{3}(mod p) u.s.w.

c) Folgern Sie aus b), dass (ℤ/pℤ\{0 + pℤ}, ·) eine Gruppe ist.

Aufgabe 5 (D): (“Permute–O–Man?” “Yes, I bring with me the power of permutation.”)

In der Gruppe S_{5} sei die Permutation σ = [ \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 3 & 1 & 2 \end{matrix} ] gegeben. a) Schreiben Sie σ als Produkt von Transpositionen.

b) Schreiben Sie σ als Produkt von Nachbartranspositionen.

c) Wie viele Fehlstände besitzt σ? Ist σ gerade oder ungerade?

Tipp: http://www.c3.lanl.gov/mega-math/permuto.html

Aufgabe 6 (⋆): (Keyboard not found. Press F1 to continue.) Ist a ein Element einer Gruppe G, so heißt die Zahl ord_{G}(a) = min{i ∈ ℕ | a^{i} = e} die Ordnung von a in G. Hierbei ist a^{i} = \underbrace{a ∘ a ∘ ⋯ ∘ a}_{i–mal.}

Im Folgenden wollen wir die Ordnungen der Elemente der Gruppe S_{n} studieren. Dazu repräsentieren wir eine Permutation σ ∈ S_{n} durch die Liste L = [σ(1), σ(2), …, σ(n)].

a) Schreiben Sie im Maple–Programm Potenz (L, i), das für i ≥ 0 die der Potenz σ^{i} entsprechende Liste berechnet.

Tipp: Die Länge von L können Sie mit nops (L) abfragen.

b) Implementieren Sie eine Maple–Funktion Ordnung (L), die die Ordnung ord_{S_{n}}(σ) berechnet.

c) Für n = 1, 2, …, 5 berechnen Sie die Liste der Ordnungen der Elemente von S_{n}, indem Sie eine geeignete Maple–Funktion Alle Ordnungen (n) schreiben und anwenden.

Tipp: Die Elemente von S_{n} können Sie mit dem Befehl permute (…) im Paket combinat erzeugen.

d) Schreiben Sie schließlich eine Maple–Prozedur OrdZahlen (n), die eine Liste berechnet, die angibt wie viele Elemente von S_{n} die Ordnungen 1, 2, 3, …, n haben.