Prof. Dr. M. Kreuzer Abgabetermin: 20.12.2002, 9.00 Uhr

Lineare Algebra I

Übungsblatt 9

Aufgabe 1 (P): (Nur Druck macht aus Kohle Diamanten …) Gegeben sei das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper 𝔽_{2}.

(⋆) \{ \begin{matrix}x_{1} & + & x_{2} & + & x_{3} & & & & & = & 0 \\ x_{1} & + & x_{2} & + & x_{3} & + & x_{4} & & & = & 0 \\ x_{1} & & & + & x_{3} & + & x_{4} & + & x_{5} & = & 0 \\ x_{1} & + & x_{2} & & & + & x_{4} & & & = & 0 \end{matrix}

a) Berechnen Sie eine Parameterdarstellung der Lösungsmenge L ⊆ (𝔽_{2})^{5} von (⋆).

b) Was bedeutet Ihre Rechnung für den von den Vektoren (1, 1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 1, 0), (1, 0, 1, 1, 1) und (1, 1, 0, 1, 0) erzeugten Untervektorraum von (𝔽_{2})^{5}?

Aufgabe 2 (P): (Kommt ein Vektor zum Drogenberater: “Hilfe, ich bin linear abhängig!”) Drei Polynome f, g, h ∈ 𝔽_{5}[x]\{0} haben paarweise verschiedene Grade. Sind dann die Polynome 3f + g, 2g + 3h und f + 2h 𝔽_{5}–linear unabhängig?

Aufgabe 3 (D+L): (Was haben Äpfel, Birnen und Homomorphismen gemeinsam? Sie haben Kerne!) Sei K ein Körper, V ein endlich erzeugter K–Vektorraum, und seien v_{1}, …, v_{m} ∈ V. Wir würden gerne K–lineare Abbildungen f : V → K^{n} mit f(v_{i}) = e_{i} für i = 1, …, m und g : K^{n} → V mit g(e_{j}) = v_{j} für j = 1, …, n definieren.

a) Unter welchen Voraussetzungen sind f und g wohldefiniert?

b) Unter welchen Voraussetzungen sind f und g für alle Elemente eindeutig festgelegt?

Aufgabe 4 (D+L): (EDV = Ende der Vernunft)

a) Schreiben Sie ein Maple–Programm Gauss Elim (M), das das Gaußsche Eliminationsverfahren gemäß Satz 8.10 implementiert.

b) Wenden Sie Ihr Programm Gauss Elim (M) in den folgenden Fällen an. Vergleichen Sie das Ergebnis jeweils mit dem Resultat einer Rechnung “per Hand” oder per eingebauter Maple–Funktion gausselim.

1) M = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} )

2) M = ( \begin{matrix}13 & 17 & 19 & 21 & 45 \\ 1 & 8 & 4 & 2 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 & 1 \\ 0 & 4 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} )

3) M = ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 9 & 16 & 25 \\ 8 & 27 & 64 & 125 \end{matrix} )

Aufgabe 5 (⋆): (“Wie oft kann man 7 von 83 substrahieren und was ist der Rest?” “Man kann es so oft substrahieren wie man will, und der Rest ist immer 76”) Sei K ein Körper und seien f, g ∈ K[x] mit Supp(f) = {1, x, x^{2}, x^{10}, x^{11}, x^{12}, x^{13}} sowie mit Supp(g) = {1, x, x^{2}, x^{3}, x^{11}, x^{12}, x^{13}}. Beweisen Sie, dass deg(ggT(f, g)) ≤ 6 gilt.