Prof. Dr. M. Kreuzer Abgabetermin: Freitag, 10.01.2003, 9.00 Uhr

Lineare Algebra I

Übungsblatt 10

Aufgabe 1 (P): (Das Leben ist komplex. Es hat reelle und imaginäre Komponenten.) Eine Teilmenge G von ℝ^{3} heißt eine Gerade, wenn es v, w ∈ ℝ^{3} gibt mit w ≠ 0, so dass G = v + ℝw gilt. Zeigen Sie, dass G ⊆ ℝ^{3} genau dann eine

Gerade ist, wenn es eine 2 × 3–Matrix M = ( \begin{matrix}a_{11} a_{12} a_{13} \\ a_{21} a_{22} a_{23} \end{matrix} ) über ℝ mit

linear unabhängigen Zeilen und einen Vektor v = \binom{b_{1}}{b_{2}} ∈ ℝ^{2} gibt, so dass G die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems ist:

\{ \begin{matrix}a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_{1} \\ a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_{2} \end{matrix}

Aufgabe 2 (P): (Es gibt drei Arten von Menschen: die, die zählen können und die, die nicht zählen können.)

a) Bestimmen Sie eine Basis des von den Vektoren v_{1} = (2, −3, 2, 3), v_{2} = (3, −5, 0, 1), v_{3} = (1, −2, 2, 2) und v_{4} = (1, −1, −4, −3) erzeugten ℝ– Untervektorraums von ℝ^{4}.

b) Finden Sie alle Teilmengen von {v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}}, die Basen von ℝ^{4} sind.

Aufgabe 3 (D+L): (Distributivgesetz: \frac{1}{6} + (\frac{1}{3} · \frac{1}{2}) = (\frac{1}{6} + \frac{1}{3}) · (\frac{1}{6} + \frac{1}{2})) Sei K ein Körper und sei {v_{1}, v_{2}} eine K–Basis eines 2–dimensionalen K– Vektorraums V. Für welche (a, b) ∈ K^{2} ist die Menge {av_{1} + v_{2}, v_{1} + bv_{2}} ebenfalls eine K–Basis von V?

Aufgabe 4 (D+L): (Kürzungsregel: \frac{6̸4}{16̸} = 4, \frac{9̸5}{19̸} = 5, etc.) Sei K ein Körper und sei f : K^{n} → K^{m} die durch die Matrix M gegebene K–lineare Abbildung. Bestimmen Sie jeweils K–Basen von Kern(f) und von Bild(f).

a) M = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix} ), b) M = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{matrix} ) .

Aufgabe 5 (⋆): (Ist das eine körperliche oder eine psychische Abhängigkeit?) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von t ∈ 𝔽_{11}, welche Dimension der von den Vektoren v_{1} = (1, 2, t + 2), v_{2} = (−1, t + 1, t) und v_{3} = (0, t, 1) erzeugte 𝔽_{11}–Untervektorraum von (𝔽_{11})^{3} besitzt.

Aufgabe 6 (⋆): (“Geh weg, sonst differenziere ich Dich!” “Ist mir egal, ich bin e^{x}.” “Und ich bin \frac{∂}{∂y}!”) Für jedes n ∈ ℕ sei B_{n} die ℚ–Basis B_{n} = {1, x, …, x^{n}} von ℚ[x]_{≤n}.

a) Zeigen Sie, dass der Ableitungshomomorphismus ∂_{n} : ℚ[x]_{≤n} → ℚ[x]_{≤n−1} für n ≥ 1 eine ℚ–lineare Abbildung ist.

b) Bestimmen Sie die Matrix von ∂_{n} bzgl. der Basen B_{n} und B_{n−1}.

c) Finden Sie eine ℚ–lineare Abbildung ı_{n−1} : ℚ[x]_{≤n−1} → ℚ[x]_{≤n} mit ∂_{n} ∘ ı_{n−1} = id.

d) Berechnen Sie die Matrix von ı_{n−1} bzgl. der Basen B_{n−1} und B_{n}.

Aufgabe 7 (⋆): (“Glauben Sie an Gott?” “Ja, bis auf einen Isomorphismus.”) Sei K ein Körper und seien V, W zwei endlich–dimensionale K–Vektorräume mit Basen {v_{1}, …, v_{n}} bzw. {w_{1}, …, w_{m}}. Finden Sie eine Basis des K– Vektorraums Hom_{K}(V, W).

Hinweis: Betrachten Sie die K–linearen Abbildungen f_{ij} : V → W mit:

f_{ij}(x_{k}) = \{ \begin{matrix}w_{j} & falls i = k \\ 0 & sonst \end{matrix}

Aufgabe 8 (⋆): (So ein Endomorfiesmus!) Sei K ein Körper, V ein K–Vektorraum und f : V → V ein Endomorphismus. Für n ≥ 1 setzen wir f^{n} = \underbrace{f ∘ ⋯ ∘ f}_{n–mal}. Es gebe ein n ≥ 1 und einen Vektor

v ∈ V mit f^{n}(v) ≠ 0 und f^{n+1}(v) = 0. Zeigen Sie, dass {v, f(v), …, f^{n}(v)} dann eine Menge von K–linear unabhängigen Vektoren ist.

Aufgabe 9 (⋆): (Hinweis = der schwerste von mehreren Lösungswegen) Bestimmen Sie alle Untervektorräume eines Vektorraums, die ein eindeutiges Komplement haben.

Hinweis: Beachten Sie auch, dass der Grundkörper endlich sein kann!

Aufgabe 10 (⋆): (F i bb ooo nnnnn aaaaaaaa ccccccccccccc iiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) Eine Folge (a_{i})_{i∈ℕ} reeller Zahlen heiße eine Fibonacci–Folge, wenn für alle n ≥ 2 gilt a_{n} = a_{n−1} + a_{n−2}. Sei V die Menge aller Fibonacci–Folgen.

a) Zeigen Sie, dass V ein ℝ–Untervektorraum von ℝ^{ℕ} ist.

b) Können Sie eine ℝ–Basis von V angeben? Welche Dimension hat V?

Aufgabe 11 (⋆): (Betrachten Sie die Menge aller Mengen, die noch nie betrachtet wurden!) Sei M eine endliche Menge und sei V = P(M) der 𝔽_{2}–Vektorraum aller Teilmengen von M.

a) Geben Sie eine 𝔽_{2}–Basis von V an. Welche Dimension hat V?

b) Gibt es eine 𝔽_{2}–Basis von V, deren Elemente Teilmengen von M sind, die mindestens zwei Elemente besitzen?