Prof. Dr. M. Kreuzer Abgabetermin: Freitag, 24.01.2003, 9.00 Uhr

Lineare Algebra I

Übungsblatt 12

Aufgabe 1 (P): (O.B.d.A. = Ohne Berücksichtigung der Anfängerstudenten) Sei f : ℚ^{3} → ℚ^{3} die ℚ–lineare Abbildung mit

f(e_{1}) = ( \begin{matrix}3 \\ 4 \\ 0 \end{matrix} ) und f(e_{2}) = ( \begin{matrix}1 \\ 7 \\ 1 \end{matrix} ) und f(e_{3}) = ( \begin{matrix}−2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} ).

a) Geben Sie eine ℚ–lineare Abbildung g : ℚ^{3} → ℚ^{3} an, so dass f ∘ g den

Vektor ( \begin{matrix}2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) auf ( \begin{matrix}3 \\ 4 \\ 0 \end{matrix} ) und den Vektor ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) auf ( \begin{matrix}1 \\ 7 \\ 1 \end{matrix} ) abbildet.

b) Geben Sie eine ℚ–lineare Abbildung h : ℚ^{3} → ℚ^{3} an, so dass h ∘ f den

Vektor ( \begin{matrix}2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) auf ( \begin{matrix}3 \\ 4 \\ 0 \end{matrix} ) und den Vektor ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) auf ( \begin{matrix}1 \\ 7 \\ 1 \end{matrix} ) abbildet.

Aufgabe 2 (P): (InVerse Links) Sei K ein Körper und M ∈ Mat_{m,n}(K). Eine Matrix L ∈ Mat_{n,m}(K) heißt Linksinverse zu M, wenn L · M = I_{n} gilt. Eine Matrix R ∈ Mat_{n,m}(K) heißt Rechtsinverse zu M, wenn M·R = I_{m} gilt. Ferner sei f : K^{n} → K^{m} die K–lineare Abbildung mit Matrix M.

a) Genau dann besitzt M eine Linksinverse, wenn f injektiv ist.

b) Genau dann besitzt M eine Rechtsinverse, wenn f surjektiv ist.

Aufgabe 3 (D+L): (Was ist die Matrix?) Sei K ein Körper und M ∈ Mat_{n}(K). Zeigen Sie, dass es ein N > 0 gibt mit Rang(M^{i}) = Rang(M^{i+1}) für alle i ≥ N.

Aufgabe 4 (D+L): (Im Bild: F. Kern auf Rang 2!) Sei K ein Körper, sei V ein endlich–dimensionaler K–Vektorraum, und sei f : V → V eine K–lineare Abbildung. Beweisen Sie, dass die folgenden Bedingungen äquivalent sind:

a) Bild(f) = Kern(f).

b) f^{2} = 0 und dim_{K}(V) = 2· Rang(f).

Aufgabe 5 (⋆): (Calculus Interruptus) Finden Sie den Rang der folgenden Matrix per Hand, also ohne die Verwendung eines Taschenrechners oder Computers.

𝔛 = ( \begin{matrix}54401 & 57668 & 15982 & 103790 \\ 33223 & 26563 & 23165 & 71489 \\ 36799 & 37189 & 16596 & 46152 \\ 21689 & 55538 & 79922 & 51237 \end{matrix} )