Prof. Dr. M. Kreuzer Abgabetermin: Freitag, 31.01.2003, 9.00 Uhr

Lineare Algebra I

Übungsblatt 13

Aufgabe 1 (P): (Ein Examen? Nee, Maxe, nie!) Sei f : ℚ^{4} → ℚ^{3} die ℚ–lineare Abbildung mit der Darstellungsmatrix:

M = ( \begin{matrix}−2 & 3 & 2 & 3 \\ −3 & 5 & 0 & 1 \\ −1 & 2 & −2 & −2 \end{matrix} )

a) Finden Sie invertierbare Matrizen S und T , so dass SMT^{−1} die in Satz 11.22 angegebene Gestalt hat.

b) Schreiben Sie S und T^{−1} als Produkte von Elementarmatrizen.

c) Warum darf man bei dem Algorithmus von Satz 11.17 keine Spaltenoperationen vornehmen?

Aufgabe 2 (P): (O Genie, der Herr ehre dein Ego!) Sei K ein Körper und M ∈ Mat_{m,n}(K). Finden Sie jeweils eine Elementarmatrix A, so dass das Produkt MA der folgenden Spaltenoperation entspricht.

a) Multiplikation der i–ten Spalte mit einem Skalar c ∈ K.

b) Addition des c–fachen der j–ten Spalte zur i–ten Spalte.

c) Vertauschung der i–ten und der j–ten Spalte.

Aufgabe 3 (D+L): (Regelbarer Ableger) Sei K ein Körper, sei V ein endlich–dimensionaler K–Vektorraum, und seien V, V′, V′′ drei Basen von V. Beweisen Sie die folgenden Regeln für Transformationsmatrizen:

a) (T{V \atop V′})^{−1} = T{V′ \atop V} (Inversenregel)

b) (T{V′ \atop V′′}) · (T{V \atop V′}) = T{V \atop V′′} (Kürzungsregel)

Aufgabe 4 (D+L): (Maetressenhuhnesserteam)

a) Beweisen Sie, dass für jede Matrix M ∈ Mat_{n}(ℝ) die Formel Rang(M) = Rang(M · M^{tr}) gilt.

b) Gilt diese Formel auch für alle M ∈ Mat_{n}(ℂ)?

Aufgabe 5 (⋆): (Hofstadter’s Gesetz: Es dauert immer länger als man denkt, selbst wenn man Hofstadter’s Gesetz einberechnet.)

a) Implementieren Sie den Algorithmus zur Berechnung der inversen Matrix in einer Maple–Funktion Invertierung (…)

b) Wenden Sie Ihre Funktion Invertierung (…) an einigen selbst gewählten Beispielen an und demonstrieren Sie ihre Korrektheit sowohl für invertierbare als auch für nicht invertierbare Matrizen.

c) Berechnen Sie die inverse Matrix der Hilbert–Matrix H_{n} = (\frac{1}{i+j−1})_{i,j=1...n} ∈ Mat_{n}(ℚ) für n = 1, 2, …, 30.