Prof. Dr. M. Kreuzer Abgabetermin: Freitag, 07.02.2003, 9.00 Uhr

Lineare Algebra I

Übungsblatt 14

Aufgabe 1 (P): (Zeilenoperation = Korrektur eines Rechtschreibfehlers; Spaltenoperation = ???) Sei K ein Körper und M ∈ Mat_{n}(K).

a) Zeigen Sie, dass sich det(M) nicht ändert, wenn man in M ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen Zeile addiert.

b) Zeigen Sie, dass sich det(M) nicht ändert, wenn man in M ein Vielfaches einer Spalte zu einer anderen Spalte addiert.

Aufgabe 2 (P): (Liebe ist die stärkste Determinante des menschlichen Schicksals.) Sei K ein Körper und M ∈ Mat_{n}(K). Beweisen Sie, dass die folgenden Bedingungen äquivalent sind.

a) Es gilt det(M) ≠ 0.

b) Die Matrix M ist eine Einheit im Ring Mat_{n}(K).

c) Die Zeilen von M sind K–linear unabhängig.

d) Die Spalten von M sind K–linear unabhängig.

e) Es gilt Rang(M) = n.

Aufgabe 3 (D+L): (Die Matrix ist überall.) Sei K ein Körper und M ∈ Mat_{n}(K) die Matrix:

M = ( \begin{matrix}2 & 1 & ⋯ & 1 \\ 1 & 2 & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 1 \\ 1 & ⋯ & 1 & 2 \end{matrix} )

Bestimmen Sie det(M).

Aufgabe 4 (L): (Eine Determinante aus dem Weltall!) Seien a, b, c, d paarweise verschiedene Elemente eines Körpers K. Berechnen Sie:

det ( \begin{matrix}1 & a & a^{2} & a^{3} \\ 1 & b & b^{2} & b^{3} \\ 1 & c & c^{2} & c^{3} \\ 1 & d & d^{2} & d^{3} \end{matrix} )

Aufgabe 5 (D): (The termination of the determination of this determinant is indeterminate!) Seien a_{1}, …, a_{n} Elemente eines Körpers K. Beweisen Sie mit vollständiger Induktion nach n die Formel:

det ( \begin{matrix}1 & a_{1} & a_{1}^{2} & … & a_{1}^{n−1} \\ 1 & a_{2} & a_{2}^{2} & … & a_{2}^{n−1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ 1 & a_{n} & a_{n}^{2} & … & a_{n}^{n−1} \end{matrix} ) = ∏_{1≤i<j≤n}(a_{j} − a_{i})

Aufgabe 6 (⋆): (Der Letzte knipst das Licht aus!) In einem Stromnetz befinden sich n Lampen und bei jeder Lampe ein Schalter. Es werde repräsentiert durch einen Graphen mit Ecken P_{1}, …, P_{n} (die für die Lampen/Schalterpaare stehen) und einigen Kanten \overline{P_{i}P_{j}} (die für die Verbindungsleitungen stehen). Wird ein Schalter betätigt, so ändert die anliegende Lampe sowie jede durch eine direkte Verbindungsleitung angeschlossene Lampe ihren Ein/Auszustand.

a) Zeichnen Sie einen Graphen, der folgende Situation beschreibt: Es gibt 5 Lampen/Schalterpaare P_{1}, …, P_{5}. Wird Schalter P_{1} betätigt, so ändern sich die Zustände aller Lampen außer P_{4}. Wird P_{2} betätigt, so ändern sich die Zustände aller Lampen außer P_{5}. Wird P_{4} betätigt, so ändern sich die Lampenzustände bei P_{2}, P_{4}, P_{5} und wird P_{5} betätigt, so ändern sich die Lampenzustände bei P_{1}, P_{4}, P_{5}. Wird schließlich P_{3} betätigt, so ändern sich die Lampenzustände bei P_{1}, P_{2}, P_{3}.

b) In dem Stromnetz:

P_{2} P_{1}  P^{5} P_{6}  P_{4} P_{3}

seien die Lampen bei P_{1}, P_{2} an und die anderen aus. Wie kann man alle Lampen einschalten? Wie kann man sie alle ausschalten? Was passiert, wenn man erst den Schalter P_{3} und dann P_{6} betätigt?

c) Zu jedem Stromnetz mit Lampen/Schalterpaaren P_{1}, …, P_{n} definieren wir nun eine Matrix M = (a_{ij}) ∈ Mat_{n}(𝔽_{2}). Dabei gelte

a_{ij} = \{ \begin{matrix}1 & falls \overline{P_{i}P_{j}} eine Leitung ist oder i = j gilt, \\ 0 & sonst. \end{matrix}

Geben Sie die Matrizen zu den Stromnetzen in a) und b) an. d) Ein Spaltenvektor v ∈ 𝔽_{2}^{n} gebe die betätigten Schalter an. Erklären

Sie, was M · v über den Zustand der Lampen nach dieser Operation aussagt.

Aufgabe 7 (⋆): (Der Herr sprach: “Es werde Licht!” Und es ward Licht.)

a) In der Situation von Aufgabe 6, betrachten Sie das durch die Matrix

A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

gegebene Stromnetz. Zeichnen Sie den zugehörigen Graphen.

b) Im Stromnetz aus a) sollen alle Lampen dunkel sein. Durch welche Schalteroperation erreicht man den Zustand P_{2}, P_{3}, P_{4} ein und P_{1} aus? Lösen Sie diese Aufgabe nicht nur anhand des gezeichneten Graphen, sondern auch mittels eines geeigneten LGS über 𝔽_{2}.

c) Wiederholen Sie a) und b) für die Matrix

B = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{matrix} ) .

Wie unterscheiden sich die beiden Graphen? Was ist der wesentliche Unterschied der beiden Matrizen?

d) Sei nun ein beliebiges Stromnetz mit einem beliebigen Lampenzustand gegeben. Beweisen Sie, dass man genau dann stets alle Lampen einschalten kann, wenn die Determinante der zugehörigen Matrix ungleich Null ist.