Musterlösung zu Blatt 3, Aufgabe 5, LinA I, WS 2002/03

\underline{Aufgabe 5:}

Sei σ = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 3 & 1 & 2 \end{matrix} ) ∈ S_{5} gegeben.

a) Schreibe σ als Produkt von Transpositionen!

σ = τ_{1,5} ∘ τ_{2,5} ∘ τ_{2,4}
= ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 2 & 3 & 4 & 1 \end{matrix} ) ∘ \underbrace{( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 5 & 3 & 4 & 2 \end{matrix} ) ∘ ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 4 & 3 & 2 & 5 \end{matrix} )}

= ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 2 & 3 & 4 & 1 \end{matrix} )  ∘  ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 4 & 3 & 5 & 2 \end{matrix} )
= ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 3 & 1 & 2 \end{matrix} ) .

Beachte hier: VON RECHTS NACH LINKS!!!

b) Schreibe σ als Produkt von Nachbartranspositionen! (vgl. Beispiel 3.21)

aus a) weiß man schon

σ = τ_{1,5} ∘ τ_{2,5} ∘ τ_{2,4}
= \underbrace{τ_{4,5} ∘ τ_{3,4} ∘ τ_{2,3} ∘ τ_{1,2} ∘ τ_{2,3} ∘ τ_{3,4} ∘ τ_{4,5}}_{=τ_{1,5}}

∘ \underbrace{τ_{4,5} ∘ τ_{3,4} ∘ τ_{2,3} ∘ τ_{3,4} ∘ τ_{4,5}}_{=τ_{2,5}}

∘ \underbrace{τ_{3,4} ∘ τ_{2,3} ∘ τ_{3,4}}_{=τ_{2,4}} .

c) i) Wieviele Fehlstände besitzt σ? \underline{Definition:} Sei σ ∈ S_{n}. Ein Paar (i, j) mit 1 ≤ i < j ≤ n und σ(i) > σ(j) heißt ein Fehlstand von σ. Mit

σ = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 4 & 3 & 1 & 2 \end{matrix} )

folgen also folgende Fehlstände: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5). Insgesamt also 9 Fehlstände.

ii) Ist σ gerade oder ungerade? Da σ 9 Fehlstände besitzt, ist σ eine ungerade Permutation (vgl. Def. 3.23.c). Zu selbigem Ergebnis gelangt man mit Satz 3.26, da ja σ Produkt von 3 Transpositionen ist. Auch über die ungerade Anzahl von Nachbartranspositionen kommt man hier zum Ziel. □