Prof. Dr. M. Kreuzer Abgabe: 10.01.2003, 12h

Logik für Informatiker

Übungsblatt 11

Aufgabe 26: Ein Ring, sie zu knechten, sie alle zu finden, ins Dunkel zu treiben und ewig zu binden Ein Ring ist definiert als Menge R zusammen mit zwei Verknüpfungen ”+“ und ”·“, die den folgenden Axiomen genügen:

1. (x + y) + z = x + (y + z) für alle x, y, z ∈ R.

2. x + y = y + x für alle x, y ∈ R.

3. Es gibt ein Element e ∈ R mit e + x = x für alle x ∈ R.

4. Es gibt eine Abbildung i : R → R mit i(x) + x = e für alle x ∈ R.

5. (x · y) · z = x · (y · z) für alle x, y, z ∈ R.

6. x · (y + z) = (x · y) + (x · z) für alle x, y, z ∈ R.

7. (x + y) · z = (x · z) + (y · z) für alle x, y, z ∈ R. Man formuliere dies als Menge gleichungslogischer Formeln.

Aufgabe 27: Spielen in der Gruppe Es sei G eine Gruppe (Axiome wie in Beispiel 4.1) und x, y, z ∈ G mit

x ∘ z = e, (z ∘ y) ∘ x = e, z ∘ y = e.

Man formalisiere dies als Menge gleichungslogischer Formeln und folgere durch Termersetzung, dass y = e.