Prof. Dr. M. Kreuzer Abgabetermin: 5. Mai 2003, 12:00 Uhr

Lineare Algebra II

Übungsblatt 1

Aufgabe 1: (Neue Werte braucht das Land)

Bestimmen Sie alle (komplexen) Eigenwerte der Matrizen

( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & i \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & i \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & i & 0 \\ 0 & 0 & −i \end{matrix} )  (1)

Aufgabe 2: (Aus Eins mach keins)

Eine Matrix A ∈ Mat_{n}(K) heißt nilpotent, wenn ein r ∈ ℕ existiert mit A^{r} = 0. Zeigen Sie:

a) Eine nilpotente Matrix hat 0 als einzigen Eigenwert.

b) Eine Matrix A ∈ Mat_{n}(K) ist nilpotent, wenn A ähnlich ist zu einer Matrix der Gestalt B = (β_{μν}) ∈ Mat_{n}(K) mit β_{μν} = 0 für μ ≥ ν, d.h.

B = ( \begin{matrix}0 & β_{12} & … & β_{1n} \\ & ... & & ⋮ \\ & & ... & β_{(n−1)n} \\ 0 & & & 0 \end{matrix} )  (2)

(sogenannte echte obere Dreiecksmatrix)

Aufgabe 3:

Beweisen oder widerlegen Sie:

a) Für eine Matrix A ∈ Mat_{n}(K) gilt A^{2} = I_{n} genau dann, wenn A ähnlich ist zu einer Diagonalmatrix mit Diagonalelementen 1 oder −1. (Tipp: Betrachten Sie x − Ax für x ∈ K^{n})

b) Die Eigenwerte von A^{2} mit A ∈ Mat_{n}(ℝ) sind nicht-negativ.

c) Jede Matrix A ∈ Mat_{n}(ℝ) mit A^{2} = −I_{n} ist diagonalisierbar.

Aufgabe 4: (Konstruktion von Eigenräumen – Eigenheimzulage?)

Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenräume von

\frac{1}{4} ( \begin{matrix}1 + 3i & 1 − i & 1 − i & 1 − i \\ 1 − i & 1 + 3i & 1 − i & 1 − i \\ 1 − i & 1 − i & 1 + 3i & 1 − i \\ 1 − i & 1 − i & 1 − i & 1 + 3i \end{matrix} )  (3)

Aufgabe 5: (*)

Sei V ein reeller Vektorraum und f: V → V ein Endomorphismus mit f ∘ f = f und f ≠ 0. Bestimmen Sie die Menge S_{f} aller Eigenwerte von f und zeigen Sie

V = ⨁_{λ∈S_{f}} Eig(f, λ) .  (4)