Prof. Dr. M. Kreuzer Abgabetermin: 12. Mai 2003, 12:00 Uhr

Lineare Algebra II - Übungsblatt 2

Aufgabe 1: (Die Karten werden neu gemischt.) Sei σ eine beliebige Permutation der Menge {1, …, n}. Zeigen Sie, dass die Diagonalmatrizen

( \begin{matrix}δ_{1} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & δ_{n} \end{matrix} ) und ( \begin{matrix}δ_{σ(1)} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & δ_{σ(n)} \end{matrix} )  (1)

ähnlich sind. Aufgabe 2: (Mathematiker können Hinrichtungen rückgängig machen.) Sei A ∈ Mat_{n}(K) nilpotent, r := min{k ∈ ℕ | A^{k} = 0} und v ∈ K^{n} mit A^{r−1}v ≠ 0. Zeigen Sie a) Die Familie V := (v, Av, …, A^{r−1}v) ist linear unabhängig.

b) Der Unterraum U := ⟨v, Av, …, A^{r−1}v⟩ ist A-invariant.

c) Nach Aufgabenteil b) induziert die Matrix A einen Endomorphismus A′: U → U. Berechnen Sie die darstellende Matrix von A′ bezüglich V.

Aufgabe 3: (Der Unterschied zwischen Polynomen und Menschen? Jedes Polynom hat Charakter.) Beweisen oder widerlegen Sie:

a) Ist λ ein Eigenwert einer invertierbaren Matrix A ∈ Mat_{n}(K), so ist λ ≠ 0 und λ^{−1} ist ein Eigenwert von A^{−1}.

b) Die obere Dreiecksmatrix

A = ( \begin{matrix}λ_{1} & & & & ∗ \\ & . & . & . \\ 0 & & & & λ_{n} \end{matrix} )  (2)

hat die Eigenwerte λ_{1}, …, λ_{n}.

c) Das charakteristische Polynom der Matrix

( \begin{matrix}0 & 1 & & 0 \\ & ... & ... \\ & & 0 & 1 \\ −α_{0} & −α_{1} & … & −α_{n−1} \end{matrix} )  (3)

ist det(λI_{n} − A) = α_{0} + α_{1}λ + … + α_{n−1}λ^{n−1} + λ^{n}.

d) Die Ableitung D(f) := f′ definiert einen Endomorphismus D ∈ End_{ℝ}(ℝ[x]), der genau einen Eigenwert besitzt. Aufgabe 4: (Einen Eigenwert bitte - gerührt, nicht geschüttelt.)

a) Was ist eine Drehung des dreidimensionalen Raums? Erklären Sie die Begriffe Achse und Drehwinkel.

b) Durch welche Matrizen werden Drehungen im ℝ^{3} beschrieben, deren Drehachse die x_{3}-Achse ist?

c) Welche Eigenwerte und Eigenräume hat eine Drehmatrix aus Aufgabenteil b)? Unterscheiden Sie die beiden Fälle, ob der Drehwinkel 180^{∘} beträgt oder nicht. Aufgabe 5: (*) (Why do you call a TV program a medium? It is neither rare nor well done.) Programmieren Sie den Trigonalisierungsalgorithmus 16.22 in MAPLE.