Prof. Dr. M. Kreuzer Abgabetermin: 26. Mai 2003, 12:00 Uhr

Lineare Algebra II - Übungsblatt 4

Aufgabe 1: (Kinobesucher: Wieviel kostet eine große Portion Fibonaccos? - Verkäufer: So viel wie eine kleine und eine mittlere Portion.) Berechnen Sie A^{100}, B^{100}, C^{100} und D^{100} (ohne Computer):

A := ( \begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} ) , B := ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , C := ( \begin{matrix}2 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix} ) , D := ( \begin{matrix}4 & −1 \\ 6 & −1 \end{matrix} )

Aufgabe 2: (Was ist ein Dilemma? - Ein Lemma mit zwei Ergebnissen.)

a) Bestimmen Sie die Minimalpolynome der Matrizen

A := ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) und B := ( \begin{matrix}2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \end{matrix} )

b) Erläutern Sie, wie sich die Einsen auf das Minimalpolynom auswirken.

Aufgabe 3: (Jordan-Normalform: 30 Punkte, 12 Rebounds, 8 Assists, …) Berechnen Sie die Jordansche Normalform von

( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

Aufgabe 4: (… 3 Blocks) Sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum, f: V → V ein Endomorphismus und μ_{f}(x) := (x−λ_{1})^{d_{1}} ⋯ (x−λ_{m})^{d_{m}} sein Minimalpolynom; dabei seien λ_{1}, …, λ_{m} die paarweise verschiedenen Eigenwerte von f. Zeigen Sie für i ∈ {1, …, m}, dass der größte Jordanblock zum Eigenwert λ_{i} eine d_{i} × d_{i} Matrix ist.

Aufgabe 5 (*): (Young man, in mathematics you don’t understand things, you just get used to them. - John von Neumann) Schreiben Sie ein MAPLE-Programm MinPoly(M), welches das Minimalpolynom einer Matrix M ∈ Mat_{n}(ℚ) berechnet (genauer: das Minimalpolynom des Endomorphismus ℚ^{n} → ℚ^{n}, x ↦ M x). Berechnen Sie dazu nacheinander die Potenzen M^{k}, k = 2, 3, … und prüfen Sie jeweils, ob die Familie I_{n}, M, M^{2}, …, M^{k} linear unabhängig ist. (Tipp: Der MAPLE-Befehl Flatten konvertiert eine n×n Matrix in einen Vektor mit n^{2} Komponenten.)