Prof. Dr. M. Kreuzer Abgabetermin: 2. Juni 2003, 12:00 Uhr

Lineare Algebra II - Übungsblatt 5

Aufgabe 1: (Matrix and Matrix reloaded) Sei A := ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 4 & 3 \end{matrix} ).

a) Die Matrix A bestimmt einen Endomorphismus f_{A}: ℂ^{2} → ℂ^{2}, v ↦ A v. Bestimmen Sie die Jordansche Normalform J von f_{A}; geben Sie sowohl die Transformationsmatrix T mit J = T A T^{−1} als auch die Basis V = (v_{1}, v_{2}) an, bezüglich der f_{A} die darstellende Matrix J besitzt.

b) Die Matrix A bestimmt eine Bilinearform gemäß Φ(e_{i}, e_{j}) := a_{ij}. Berechnen Sie die Gramsche Matrix (Strukturmatrix) der Bilinearform bezüglich der Basis V = (v_{1}, v_{2}) aus Aufgabenteil a).

Aufgabe 2: (Aufgabe mit Eigenwert.) Bestimmen Sie die Jordansche Normalform von

A := ( \begin{matrix}2 & a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & c \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \end{matrix} )

in Abhängigkeit von den Parametern a, b, c. (Tipp: Überprüfen Sie Ihr Ergebnis mit Maple.)

Aufgabe 3(*): (Kann man Quadrate differenzieren?)

a) Sei A ∈ Mat_{n}(ℝ). Zeigen Sie, dass die komponentenweise Ableitung der Funktion ℝ → Mat_{n}(ℝ), t ↦ exp(t A) gegeben ist durch

\frac{d}{dt} exp(t A) = A exp(t A) .

b) Seien A, T ∈ Mat_{n}(ℝ), T invertierbar. Zeigen Sie T exp(A) T^{−1} = exp(T A T^{−1}).

Aufgabe 4: (Studentisches Gesetz: Der Anspruch der Aufgaben wächst exponentiell mit der Dauer des Studiums.)

a) Berechnen Sie exp(A_{i}), i = 1, 2, 3, für

A_{1} := ( \begin{matrix}3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix} ) , A_{2} := ( \begin{matrix}2 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix} ) und A_{3} := ( \begin{matrix}A_{1} & 0 \\ 0 & A_{2} \end{matrix} ) .

(Tipp: Blatt 3, Aufgabe 5c)

b) Berechnen Sie für A_{1} aus Aufgabenteil a) und die Variable t (vgl. Aufgabe 3) die Exponentialmatrix

exp(t A_{1}) = ( \begin{matrix}a_{1}(t) & b_{1}(t) & c_{1}(t) \\ a_{2}(t) & b_{2}(t) & c_{2}(t) \\ a_{3}(t) & b_{3}(t) & c_{3}(t) \end{matrix} )

und zeigen Sie: Jede der Funktionen t ↦ (a_{1}(t), a_{2}(t), a_{3}(t))^{T}, t ↦ (b_{1}(t), b_{2}(t), b_{3}(t))^{T} und t ↦ (c_{1}(t), c_{2}(t), c_{3}(t))^{T} ist eine Lösung des linearen Differentialgleichungssystems mit konstanten Koeffizienten

( \begin{matrix}y′_{1} \\ y′_{2} \\ y′_{3} \end{matrix} ) = A_{1} ( \begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{matrix} ) .

Aufgabe 5: (Bilinearformen machen’s sowohl mit der ersten als auch mit der zweiten Komponente.) Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum mit Basis (v_{1}, …, v_{n}). Sei Φ: V ×V → K eine (nicht notwendig symmetrische) bilineare Abbildung mit Gramscher Matrix (a_{ij}) := (Φ(v_{i}, v_{j})). Für jedes v ∈ V sind

Φ(v, −): V → K, w ↦ Φ(v, w)

und

Φ(−, v): V → K, w ↦ Φ(w, v)

Linearformen. Damit erhalten wir wie in der Vorlesung die linearen Abbildungen

φ: V → V^{∗}, v ↦ Φ(v, −)

und

ψ: V → V^{∗}, v ↦ Φ(−, v) .

a) Sei v = α_{1}v_{1} +…+α_{n}v_{n}. Berechnen Sie die darstellenden Matrizen von Φ(v, −) und Φ(−, v) bezüglich der Basen (v_{1}, …, v_{n}) von V und 1 von K.

b) Berechnen Sie die darstellenden Matrizen von φ und ψ bezüglich der Basis (v_{1}, …, v_{n}) und der dualen Basis (v_{1}^{∗}, …, v_{n}^{∗}).

c) Zeigen Sie dim Kern φ = dim Kern ψ.

Der Abgabetermin für die folgenden Aufgaben ist der 10. Juni 2003.

Aufgabe 6(*): (ARD) Programmieren Sie den Algorithmus zur Berechnung der Hauptraumzerlegung in Maple (Korollar 17.9)

Aufgabe 7(*): (Mit dem zweiten sieht man besser) Programmieren Sie den Algorithmus zur Berechnung der Normalform eines nilpotenten Algorithmus in Maple (Korollar 17.13)

Aufgabe 8(*): (Aller guten Dinge sind drei.) Programmieren Sie den Algorithmus zur Berechnung der Jordanschen Normalform in Maple (Korollar 17.16)