Prof. Dr. M. Kreuzer Abgabetermin: Dienstag, 10. Juni 2003, 12:00 Uhr

Lineare Algebra II - Übungsblatt 6

Aufgabe 1: (Sohn: Vati, kannst Du meine Mathe-Hausfgaben machen? V: Das wäre nicht richtig! S: Du kannst es ja wenigstens versuchen.) Sei Φ: K^{2} × K^{2} → K die durch Φ(\binom{a}{b}, \binom{c}{d}) = ad − bc definierte Abbildung.

a) Zeigen Sie, dass Φ eine Bilinearform ist.

b) Geben Sie die Gramsche Matrix von Φ bzgl. der Standardbasis an.

c) Beweisen Sie, dass Φ nicht ausgeartet ist.

d) Zeigen Sie, dass Φ(v, v) = 0 für alle v ∈ K^{2}.

Aufgabe 2: (Ein Mathe-Übungsblatt zum anderen: Stör mich nicht - ich habe selbst genug Probleme.) Sei K ein Körper mit char(K)≠ 2. Zeigen Sie, dass jede Bilinearform Φ: V × V → K eine eindeutige Zerlegung

Φ = Φ_{sym} + Φ_{anti}

besitzt, wobei Φ_{sym} eine symmetrische und Φ_{anti} eine schiefsymmetrische Bilinearform ist.

Aufgabe 3: (Uni-Verwaltung zu den Chemikern: Warum braucht Ihr immer so teure Labors? Die Mathematiker brauchen nur Papier, Stifte und Abfalleimer... oder die Philosophen - die brauchen nur Papier und Stifte…) Die Vektoren (a_{1}, a_{2}, a_{3}), (b_{1}, b_{2}, b_{3}) ∈ K^{3}\{0} definieren die Linearformen φ, ψ: K^{3} → K gemäß φ((c_{1}, c_{2}, c_{3})) := a_{1}c_{1} + a_{2}c_{2} + a_{3}c_{3} und ψ((c_{1}, c_{2}, c_{3})) := b_{1}c_{1} + b_{2}c_{2} + b_{3}c_{3}.

a) Zeigen Sie, dass die Abbildung Φ: K^{3} ×K^{3} → K mit Φ(v, w) := φ(v)·ψ(w) eine Bilinearform ist.

b) Bestimmen Sie die Gramsche Matrix von Φ bzgl. der Standardbasis des K^{3}.

c) Für welche (a_{1}, a_{2}, a_{3}), (b_{1}, b_{2}, b_{3}) ∈ K^{3} \ {0} ist Φ nicht ausgeartet?

Aufgabe 4: (Prof: Bevor ich dieses Thema beende, möchte ich Ihnen noch etwas Interessantes erzählen.) Sei V ein euklidischer Vektorraum. Beweisen Sie die Parallelogrammgleichung:

∥v + w∥^{2} + ∥v − w∥^{2} = 2∥v∥^{2} + 2∥w∥^{2} für alle v, w ∈ V

Aufgabe 5: (“Unless x is a banana or some other such object that commutes with a.”) Sei n ≥ 2.

a) Beweisen Sie, dass durch ∥ ∥_{∞}: ℝ^{n} → ℝ mit ∥(a_{1}, ..., a_{n})∥_{∞} := max{|a_{i}| : 1 ≤ i ≤ n} eine Norm auf ℝ^{n} definiert wird.

b) Zeigen Sie, dass es kein Skalarprodukt < , > auf ℝ^{n} gibt mit ∥v∥_{∞} = \sqrt{< v, v >} für v ∈ ℝ^{n}. (Tipp: Verwenden Sie Aufgabe 4)

Der Abgabetermin für die folgenden Aufgaben ist Montag, der 16. Juni 2003.

Aufgabe 6: Sei f: ℝ^{4} → ℝ^{4} ein Endomorphismus. Wie in der Vorlesung wird durch Φ: ℝ^{4} × ℝ^{4} → ℝ mit Φ(v, w) :=< f(v), w > eine Bilinearform von ℝ^{4} definiert. Geben Sie ein f an, so dass Φ ein Skalarprodukt ist und seine Gramsche Matrix nur positive Einträge hat.

Aufgabe 7: Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und Φ: V × V → K eine Bilinearform.

a) Zeigen Sie, dass R := {v ∈ V | v^{⊥} = V } ein K-Untervektorraum von V ist. Er heißt Radikal von Φ.

b) Sei V := (v_{1}, ..., v_{n}) eine Basis. Bestimmen Sie das Radikal der Bilinearform Φ: V × V → K mit

G_{V}(Φ) = ( \begin{matrix}1 & & 0 & 0 \\ & ... & & ⋮ \\ 0 & & 1 & 0 \\ 0 & … & 0 & −1 \end{matrix} )

Aufgabe 8: Schreiben Sie eine MAPLE-Prozedur SchmidtOV (V), die aus der vorgegebenen Basis V des ℝ^{n} mit Hilfe des Orthonormalisierungsverfahrens eine Orthonormalbasis des ℝ^{n} bzgl. des Standardskalarproduktes berechnet. Wenden Sie SchmidtOV (V) auf die folgenden Beispiele an:

a) Beispiel 19.13 der Vorlesung

b) V bestehe aus den Spalten der Matrix

M := ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & … & 6 \\ & ... & ... & ... & ⋮ \\ & & ... & ... & 3 \\ & & & ... & 2 \\ 0 & & & & 1 \end{matrix} )