Prof. Dr. M. Kreuzer Abgabetermin: Montag, 23. Juni 2003, 12:00 Uhr

Lineare Algebra II - Übungsblatt 7

Aufgabe 1: Sei V ein euklidischer Vektorraum. Für zwei Vektoren v, w ∈ V \ {0} ist

∠(v, w) := arccos \frac{⟨v, w⟩}{∥v∥ · ∥w∥}

der Winkel zwischen v und w. Eine Abbildung f: V → V heißt winkeltreu, wenn

f injektiv ist und ∠(f(v), f(w)) = ∠(v, w) für alle v, w ∈ V \ {0}

gilt.

Beweisen Sie, dass f winkeltreu ist, wenn es eine orthogonale ℝ-lineare Abbildung g: V → V und ein λ ∈ ℝ \ {0} gibt mit f = λ · g.

Aufgabe 2: Sei V ein euklidischer Vektorraum und sei f: V → V eine ℝ-lineare Abbildung. Zeigen Sie, dass die folgenden Bedingungen äquivalent sind:

a) f ist orthogonal.

b) Für alle v ∈ V gilt ∥f(v)∥ = ∥v∥.

c) Für eine beliebige Basis V = (v_{1}, ..., v_{n}) von V gilt

⟨f(v_{i}), f(v_{j})⟩ = ⟨v_{i}, v_{j}⟩ für i, j = 1, ..., n.

Aufgabe 3: Sei f: ℝ^{3} → ℝ^{3} eine orthogonale Abbildung. Beschreiben Sie f geometrisch. (vgl. Beispiel 20.6 der Vorlesung.)

Aufgabe 4: Vervollständigen Sie den Beweis des Satzes vom Fussball (s. Korollar 20.7): Ist f: S^{2} → S^{2} längentreu, so ist F: ℝ^{3} → ℝ^{3} mit F (v) := ∥v∥ f(v/∥v∥) für v ≠ 0 und F (0) := 0 linear und längentreu.

Aufgabe 5: (*) Sei f: ℝ^{n} → ℝ^{n} eine längentreue Abbildung in dem Sinne

∥f(v) − f(w)∥ = ∥v − w∥ für alle v, w ∈ ℝ^{n} .

Zusätzlich gelte f(0) = 0. Zeigen Sie:

(a) Für alle v ∈ ℝ^{n} gilt ∥f(v)∥ = ∥v∥ (vgl. längentreu in der Vorlesung).

(b) Für alle v, w ∈ ℝ^{n} gilt ⟨f(v), f(w)⟩ = ⟨v, w⟩.

(c) Für alle v, w ∈ ℝ^{n} gilt ∥f(v + w) − f(v) − f(w)∥^{2} = 0.

(d) Die Abbildung f ist ℝ-linear.

Aufgabe 6: (*) Implementieren Sie den Algorithmus aus Korollar 21.7 der Vorlesung als MAPLE-Prozedur ONBEV(M). Wenden Sie die Prozedur auf die Matrizen

M_{1} := ( \begin{matrix}2/3 & 1/3 & 2/3 \\ 1/3 & −14/15 & 2/15 \\ 2/3 & 2/15 & −11/15 \end{matrix} ) und M_{2} := ( \begin{matrix}2 & −1 & 1 \\ −1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix} )

an und vergleichen Sie die Ausgabe mit Beispiel 21.8 der Vorlesung.