Prof. Dr. M. Kreuzer Abgabetermin: Montag, 30. Juni 2003, 12:00 Uhr

Lineare Algebra II - Übungsblatt 8

Aufgabe 1: Sei Φ: ℝ^{2} × ℝ^{2} → ℝ eine Bilinearform mit G(Φ) = ( \begin{matrix}0 & 2 \\ 2 & −2 \end{matrix} ) und q: ℝ^{2} → ℝ die

zugehörige quadratische Form. Zeichnen Sie die Menge

{w ∈ ℝ^{2} | q(w) = 1}

und beschreiben Sie die Hauptachsen.

Aufgabe 2: Sei V ein K-Vektorraum mit Skalarprodukt ⟨ , ⟩ und V = (v_{1}, …, v_{n}) eine orthonormale Familie in V. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

(1) V ist eine Basis von V.

(2) Ist x ∈ V mit ⟨x, v_{i}⟩ = 0 für alle 1 ≤ i ≤ n, so gilt x = 0.

(3) ∑_{i=1}^{n} K · v_{i} = V.

(4) Für alle x ∈ V gilt x = ∑_{i=1}^{n}⟨x, v_{i}⟩ v_{i}.

(5) Für alle x, y ∈ V gilt ⟨x, y⟩ = ∑_{i=1}^{n}⟨x, v_{i}⟩⟨v_{i}, y⟩.

(6) Für alle x ∈ V gilt ∥x∥^{2} = ∑_{i=1}^{n} |⟨x, v_{i}⟩|^{2}.

Hinweis: Ringschluss (1) ⇒ ⋯ ⇒ (6) ⇒ (1).

Aufgabe 3: (Die Gesellschaft muss sich mehr um Integration bemühen.) Betrachten Sie den reellen Vektorraum V := C([a, b], ℝ) der stetigen, reellwertigen Funktionen auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] mit dem Skalarprodukt

⟨f, g⟩ := ∫_{a}^{b} f(t)g(t) dt .

Die Funktionen

f_{n}: [a, b] → ℝ, t → t^{n}, (n = 0, 1, 2, …)

sind linear unabhängig in V. Wenden Sie auf (f_{0}, f_{1}, f_{2}) das Orthonormalisierungsverfahren an für die beiden Fälle

[a, b] = [0, 1] und [a, b] = [−1, 1] .

Aufgabe 4: (The certificate of your theorem has expired - please update.) Beweisen Sie den Satz über die Hauptachsentransformation im Komplexen: Sei V ein endlichdimensionaler ℂ-Vektorraum mit hermitescher Form ⟨ , ⟩ und f: V → V ein selbstadjungierter Endomorphismus. Dann gibt es eine Orthonormalbasis von V aus Eigenvektoren von f.

Aufgabe 5: (*) Sei ℝ^{ℕ} der reelle Vektorraum aller Folgen reeller Zahlen und

U := {(a_{n}) ∈ ℝ^{ℕ} | ∑_{n=1}^{∞} a_{n}^{2} < ∞} .

Zeigen Sie:

(1) Für beliebige (a_{n}), (b_{n}) ∈ U konvergiert die Reihe ∑_{n=1}^{∞} a_{n}b_{n} absolut. (Hinweis: Verwenden Sie die Cauchy-Schwarz-Ungleichung in ℝ^{n}.)

(2) U ist ein Untervektorraum von ℝ^{ℕ}, und

⟨(a_{n}), (b_{n})⟩ := ∑_{n=1}^{∞} a_{n}b_{n}

definiert ein Skalarprodukt auf U.

(3) e^{(k)} := (δ_{kn})_{n∈ℕ} definiert eine orthonormale Familie (e^{(k)})_{k∈ℕ} in U.

(4) (e^{(k)})_{k∈ℕ} ist keine Basis von U.