Null-dimensionale Ideale und Ersetzungsregeln

Holger Bluhm

01. Juli

Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Beschreibung von null-dimensionalen Idealen. Das verwendete Konzept wird durch die folgende exakte Sequenz ersichtlich:

0 ⟶ I ⟶ P ⟶^{ρ} P/I ⟶ 0

φ↓ ↙≅

V (O)

In dem K-Vektorraum P = K[x_{1}, …, x_{n}] finden wir einen zu P/I isomorphen K-Unter-vektorraum V (O). Dies induziert eine K-lineare surjektive Abbildung φ : P → V (O) mit ker(φ) = I. Damit ist V (O) ein zyklischer P -Modul erzeugt durch φ(1) via n paarweise kommutierender Endomorphismen. Im Folgenden wollen wir die Abbildung φ benennen und genauer untersuchen.

Definition 1.1 Sei I ein null-dimensionales Ideal in P und O = (h_{1}, …, h_{μ}) ein Tupel von Polynomen, so dass Ō = (h̄_{1}, …, h̄_{μ}) eine Basis von P/I als K-Vektorraum ist. Bezeichne weiter V (O) den von den Elementen von O erzeugten K-Vektorraum in P. Dann ist durch NF_{O,I} : P → V (O), NF_{O,I}(f) = ∑_{i=1}^{μ} a_{i}h_{i} mit a_{1}, …, a_{μ} gegeben durch ρ(f) = ∑_{i=1}^{μ} a_{i}h̄_{i} eine lineare Abbildung definiert. NF_{O,I} heißt Normalformabbildung bzgl. (O, I) und NF_{O,I}(f) Normalform bzgl. (O, I). Existiert ein Algorithmus, der NF_{O,I}(f) für jedes f ∈ P berechnet, so heißt NF_{O,I} explizit.

Bemerkung 1.2 Für die Normalformabbildung NF_{O,I} gelten folgende Eigenschaften:

(a) f − NF_{O,I}(f) ∈ I für alle f ∈ P,

(b) NF_{O,I}(NF_{O,I}(f)) = NF_{O,I}(f) für alle f ∈ P,

(c) NF_{O,I}(fg) = NF_{O,I}(NF_{O,I}(f)NF_{O,I}(g)) für alle f, g ∈ P,

(d) V (O) ist ein durch NF_{O,I}(1) erzeugter zyklischer P-Modul.

Korollar 1.3 Seien I ein null-dimensionales Ideal in P, O = (t_{1}, …, t_{μ}) ein Tupel von Polynomen, so dass Ō = (t̄_{1}, …, t̄_{μ}) eine Basis von P/I als K-Vektorraum ist, w = NF_{O,I}(1) und M_{x_{1}}^{O}, …, M_{x_{n}}^{O} die Multiplikationsmatrizen von P/I. Für f ∈ P ist

NF_{O,I}(f) = O · f(M_{x_{1}}^{O}, …, M_{x_{n}}^{O}) · M_{w}^{O}

und damit NF_{O,I} eine explizite Normalformabbildung bzgl. (O, I). □

Beispiel 1.4 Seien N = {(0, 0), (0, −1), (1, 0), (1, 1), (−1, 1)} ⊂ ℚ^{2}, I ⊂ P = ℚ[x, y] das Verschwindungsideal von N und O = (1, x, y, x^{2}, y^{2}). Dann ist (1, x̄, ȳ, x̄^{2}, ȳ^{2}) eine ℚ-Basis von P/I. Es soll nun NF_{O,I}(x^{6}y^{2}) berechnet werden. Dazu bestimmen wir die Multiplikationsmatrizen M_{x}^{O} und M_{y}^{O} und erhalten

M_{x}^{O} = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & −1 & 0 & −1 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \end{matrix} ) M_{y}^{O} = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & −1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2} & 0 \end{matrix} ) ,

wobei w = (1, 0, 0, 0, 0)^{tr}. Die Matrizen M_{x}^{O} und M_{y}^{O} kommutieren und mit Korollar 3.3 ist

NF_{O,I}(x^{6}y^{2}) = O · (M_{x}^{O})^{6}(M_{y}^{O})^{2} · w = \frac{1}{2}y + \frac{1}{2}y^{2}

Definition 1.5 Sei O eine nicht-leere Menge von Potenzprodukten. O heißt Ordnungsideal, wenn für alle t′ mit t′|t für ein t ∈ O auch t′ ∈ O gilt. Insbesondere ist 1 ∈ O.

Definition 1.6 Ein Paar (g, t) heißt markiertes Polynom (g markiert durch t), wenn g ∈ P \{0} und t ∈ supp(g) mit Koeffizient 1 ist. Ist G = (g_{1}, …, g_{ν}) ein Tupel von Polynomen g_{i} ≠ 0, T = (t_{1}, …, t_{ν}) ein Tupel von Potenzprodukten und sind (g_{1}, t_{1}), …, (g_{v}, t_{ν}) markierte Polynome, so heit G markiert durch T .

Definition 1.7 Sei G = (g_{1}, …, g_{ν}) ein Tupel von Polynomen g_{i} ≠ 0 markiert durch T = (t_{1}, …, t_{ν}) und g, g′ ∈ P. Existieren ein c ∈ K, t ∈ 𝕋^{n} und ein Index i ∈ {1, …, ν}, so dass g′ = g − ctg_{i} und tt_{i} ∉ supp(g′), so heißt g reduziert zu g′ unter Benutzung der Ersetzungsregeln definiert durch die markierten Polynome (g_{i}, t_{i}). Für einen solchen Reduktionsschritt schreiben wir kurz g ⟶^{g_{i}} g′.

Beispiel 1.8 Sei P = K[x, y] und G = (g) mit g = xy − x^{2} − y^{2} markiert durch xy. Dann kann die Reduktionskette x^{2}y ⟶^{g} x^{3} + xy^{2} ⟶^{g} x^{3} + x^{2}y + y^{3} unendlich fortgesetzt werden.

Das Beispiel zeigt, dass wir für ein Terminieren der Reduktionen mehr benötigen. Dazu zunächst die folgende

Definition 1.9 Sei O = {t_{1}, …, t_{μ}} ein Ordnungsideal. Dann heißt die Menge

O^{+} = {t ∈ 𝕋^{n}\O | ∃ i ∈ {1, …, n} mit x_{i}t′ = t für ein t′ ∈ O}.

der Rand von O (siehe auch Anhang).

Definition 1.10 Sei P = K⟨x_{1}, …, x_{n}⟩ der Ring der nicht-kommutativen Polynome in den Unbestimmten x_{1}, …, x_{n} und π : P → P der kanonische K-lineare Ringepimorphismus. Seien x_{1}, …, x_{n} geordnet mit x_{1} > x_{2} > ⋯ > x_{n}. Dann wird jeder kommutative Term t kanonisch repräsentiert durch t = x_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}} ⋯ x_{n}^{a_{n}}, und wir definieren mit λ : P → P die K-lineare Abbildung, die jedem Term t den nicht-kommutativen Term x_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}} ⋯ x_{n}^{a_{n}} zuordnet. Damit ist π ∘ λ = id_{P}. Im Folgenden identifizieren wir f ∈ P mit λ(f) ∈ P.

Definition 1.11 Sei O ein Tupel von Termen in P, so dass O ein Ordnungsideal ist, und O^{+} = (b_{1}, …, b_{ν}) mit der zugrundeliegenden Menge O^{+}. Ferner sei G = (g_{1}, …, g_{ν}) ein Tupel von Polynomen g_{i} ≠ 0 markiert durch O^{+} mit supp(b_{j} − g_{j}) ⊆ O für j = 1, …, ν. Dann definieren wir die K-lineare Abbildung NR_{O,G} : P → V (O) wie folgt: a) NR_{O,G}(τ) = π(τ), falls π(τ) ∈ O,

b) NR_{O,G}(x_{i}τ) = b_{j} − g_{j}, falls π(x_{i}τ) = b_{j} ∈ O^{+} und π(τ) ∈ O,

c) NR_{O,G}(x_{i}τ) = NR_{O,G}(x_{i}NR_{O,G}(τ)), falls weder a) noch b) eintritt.

NR_{O,G} ist wohldefiniert und heißt die normale Restabbildung bzgl. (O, G). f heißt irreduzibel bzgl. (O, G), wenn supp(π(f)) ⊆ O und damit NR_{O,G}(f) = π(f) gilt.

Proposition 1.12 Sei O ein Tupel von Termen in P, so dass O ein Ordnungsideal ist, und O^{+} = (b_{1}, …, b_{ν}) mit der zugrundeliegenden Menge O^{+}. Ferner sei G = (g_{1}, …, g_{ν}) ein Tupel von Polynomen g_{i} ≠ 0 markiert durch O^{+} mit supp(b_{j}−g_{j}) ⊆ O für j = 1, …, ν, I das von G = {g_{1}, …, g_{ν}} erzeute Ideal und f ∈ P. Dann gilt

a) π(f) − NR_{O,G}(f) ∈ I für alle f ∈ P,

b) NR_{O,G}(x_{i}f) − NR_{O,G}(fx_{i}) ∈ I für alle f ∈ P, i = 1, … n.

Beweis. b) folgt sofort aus a), denn wegen π(x_{i}f) = π(fx_{i}) ist NR_{O,G}(x_{i}f)−NR_{O,G}(fx_{i}) = NR_{O,G}(x_{i}f) − π(x_{i}f) + π(fx_{i}) − NR_{O,G}(fx_{i}) ∈ I. Bleibt also noch a) zu zeigen. Œ sei nun f = τ ein Term. Betrachte jetzt die drei Fälle aus der Definition von NR_{O,G}. \underline{Fall 1}: π(τ) ∈ O. Dann ist π(τ) − NR_{O,G}(τ) = 0 ∈ I. \underline{Fall 2}: τ = x_{i}τ̃ mit π(x_{i}τ̃) = b_{j} ∈ O^{+}, π(τ̃) ∈ O. Dann folgt

π(τ) − NR_{O,G}(τ) = π(x_{i}τ̃) − NR_{O,G}(x_{i}τ̃) = b_{j} − (b_{j} − g_{j}) = g_{j} ∈ I. \underline{Fall 3}: τ = x_{i}τ̃ mit π(τ̃) ∉ O und π(τ) ∉ O. Mit Induktion nach dem Grad von τ

(Induktionsanfang klar wegen π(1) ∈ O) ist dann

NR_{O,G}(x_{i}τ̃) = NR_{O,G}(x_{i}NR_{O,G}(τ̃)) = NR_{O,G}(x_{i} ∑_{t∈O} c_{t}t) = ∑_{t∈O} c_{t}NR_{O,G}(x_{i}t)
≡ ∑_{t∈O} c_{t}π(x_{i}t) (mod I) = π(∑_{t∈O} c_{t}x_{i}t) = π(x_{i}NR_{O,G}(τ̃))

≡^{Ind.V or.} π(x_{i}π(τ̃)) (mod I) = π(x_{i}τ̃).

□

Beispiel 1.13 Wir betrachten wieder das Ordnungsideal O = {1, x, y, x^{2}, y^{2}} mit dem Rand O^{+} = {xy, x^{3}, y^{3}, x^{2}y, xy^{2}}. Sei nun G = (g_{1}, g_{2}, g_{3}, g_{4}, g_{5}) = (xy − x^{2} − y^{2}, x^{3} − x^{2}, y^{3} − y^{2}, x^{2}y − x^{2}, xy^{2} − y^{2}) ein Tupel von Polynomen markiert durch O^{+}, welches ein Ideal I erzeugt. Dann ist NR_{O,G}(yx^{2}) = x^{2} und

NR_{O,G}(x^{2}y) = NR_{O,G}(xNR_{O,G}(xy)) = NR_{O,G}(x(x^{2} + y^{2})) = x^{2} + y^{2}.

Damit folgt y^{2} = (x^{2} + y^{2}) − x^{2} = NR_{O,G}(x^{2}y) − NR_{O,G}(yx^{2}) ∈ I nach 1.12b). Ferner lässt sich aus der Berechnung von NR_{O,G}(x^{2}y) eine Darstellung von y^{2} in den Erzeugenden von I ermitteln. Wir erhalten

x^{2}y = x · xy = x(x^{2} + y^{2} + g_{1}) = x^{3} + xy^{2} + xg_{1} = g_{2} + x^{2} + g_{5} + y^{2}

und damit y^{2} = g_{4} − g_{2} − g_{5}.

Proposition 1.14 Sei I ein null-dimensionales Ideal in P, O = {t_{1}, …, t_{μ}} ein Ordnungsideal, so dass Ō = {t̄_{1}, …, t̄_{μ}} eine Basis von P/I als K-Vektorraum ist, und O^{+} = {b_{1}, …, b_{ν}}. Dann gilt

a) Für alle j = 1, …, ν existiert eine eindeutige Linearkombination ∑_{k=1}^{μ} a_{kj}t_{k} mit a_{kj} ∈ K, k ∈ {1, …, μ}, j ∈ {1, …, ν} und g_{j} = b_{j} − ∑_{k=1}^{μ} a_{kj}t_{k} ∈ I.

b) Das Ideal I wird von {g_{1}, …, g_{ν}} erzeugt.

Beweis. a) Da Ō eine Basis von P/I ist, lässt sich b_{j} in P/I eindeutig darstellen als b̄_{j} = ∑_{k=1}^{μ} a_{kj}t̄_{k}, und damit ist g_{j} := b_{j} − ∑_{k=1}^{μ} a_{kj}t_{k} ≡ 0 (mod I), also g_{j} ∈ I. Um b) zu zeigen, sei J das von {g_{1}, …, g_{ν}} erzeugte Ideal. Zu beweisen ist nun, dass J = I ist. Wegen J ⊆ I bleibt noch I ⊆ J zu zeigen. Wir zeigen dazu, dass P = V (O)+J ist, also dass t ∈ V (O) + J ist für alle Terme t. Mit Induktion nach d = deg(t): d=0: 1 ∈ V (O), da O ein Ordnungsideal ist. d-1→ d: Sei t ein Term vom Grad d > 0. Es existiert ein l ∈ {1, …, n}, so dass t = x_{l}t′.

t′ hat Grad d − 1 und nach Induktionsvoraussetzung gilt daher t′ = ∑_{i=1}^{μ} a_{i}t_{i} + g

mit a_{i} ∈ K für i = 1, …, μ und g ∈ J. Damit ist t = ∑_{i=1}^{μ} a_{i}x_{l}t_{i} + x_{l}g.

Ist x_{l}t_{i} ∈ O für alle i ∈ {1, …, μ}, so sind wir fertig. Ist andernfalls x_{l}t_{i} ∈ O^{+}

für ein i ∈ {1, …, μ}, so ist x_{l}t_{i} = b_{j} = ∑_{k=1}^{μ} a_{kj}t_{k} ∈ V (O) + J für ein

j ∈ {1, …, ν} und damit auch t. □

Definition 1.15 In der Situation von 1.14 sei zusätzlich O^{+} = (b_{1}, …, b_{ν}) mit zugrundeliegender Menge O^{+} und G = (g_{1}, …, g_{ν}) markiert durch O^{+}. Dann heißt das Paar (G, O^{+}) Randbasis von I bzgl. O.

Beispiel 1.16 Sei wieder O = {1, x, y, x^{2}, y^{2}} mit O^{+} = {xy, x^{3}, y^{3}, x^{2}y, xy^{2}}. Dann ist g_{1} = xy − x − \frac{1}{2}y + x^{2} − \frac{1}{2}y^{2}, g_{2} = x^{3} − x, g_{3} = y^{3} − y, g_{4} = x^{2}y − \frac{1}{2}y − \frac{1}{2}y^{2} und g_{5} = xy^{2} − x − \frac{1}{2}y + x^{2} − \frac{1}{2}y^{2}. Wir erhalten nun mit F = (g_{1}, g_{2}, g_{3}, g_{4}, g_{5}) markiert durch O^{+} die Randbasis von I bzgl. O.

Definition 1.17 Sei O = (t_{1}, …, t_{μ}), so dass O ein Ordnungsideal ist, O^{+}=(b_{1}, …, b_{ν}) mit zugrundeliegender Menge O^{+} und G = (g_{1}, …, g_{ν}) ein Tupel von Polynomen g_{i} ≠ 0 markiert durch O^{+} mit supp(g_{k}−b_{k}) ⊆ O für k = 1, …, ν. Wir konstruieren nun Matrizen M_{1}, …, M_{n} ∈ Mat_{μ}(K) wie folgt. Ist x_{k}t_{j} ∈ O, dann ist (0, …, 0, 1, 0, …, 0)^{tr} die j-te Spalte von M_{k} mit der 1 an der dem Potenzprodukt x_{k}t_{j} entsprechenden Position in O. Ist x_{k}t_{j} ∈ O^{+}, dann ist x_{k}t_{j} = b_{i} für ein i ∈ {1, …, ν}, und die j-te Spalte von M_{k} besteht aus den Koeffizienten von (t_{1}, …, t_{μ}) in der Darstellung von b_{i} −g_{i} als Linearkombination der Elemente von O. Die Matrizen M_{1}, …, M_{n} heißen die zu (G, O^{+}) assoziierten Matrizen.

Es gibt nun einen interessanten Zusammenhang zwischen der normalen Restabbildung NR_{O,G} und den zu (G, O^{+}) assoziierten Matrizen.

Proposition 1.18 Sei O = (t_{1}, …, t_{μ}), so dass O ein Ordnungsideal ist, t_{1} = 1, O^{+} = (b_{1}, …, b_{ν}) mit zugrundeliegender Menge O^{+} und G = (g_{1}, …, g_{ν}) ein Tupel von Polynomen g_{i} ≠ 0 markiert durch O^{+} mit supp(g_{j} − b_{j}) ⊆ O für j = 1, …, ν. Ferner seien M_{1}, …, M_{n} ∈ Mat_{μ}(K) die zu (G, O^{+}) assoziierten Matrizen. Dann gilt

NR_{O,G}(x_{i_{1}}x_{i_{2}} ⋯ x_{i_{s}}) = O · M_{i_{1}}M_{i_{2}} ⋯ M_{i_{s}} · M_{t_{1}}^{O}.

für jedes nicht-kommutative Potenzprodukt x_{i_{1}}x_{i_{2}} ⋯ x_{i_{s}}.

Beweis. Wir zeigen die Behauptung mit Induktion nach dem Grad d. d=0: Wegen t_{1} = 1 ist NR_{O,G}(1) = 1 = O · M_{t_{1}}^{O}. d-1→ d: Sei τ = x_{i_{1}}x_{i_{2}} ⋯ x_{i_{d}}. Nach Induktionsvoraussetzung gilt

NR_{O,G}(τ) = NR_{O,G}(x_{i_{1}}NR_{O,G}(x_{i_{2}} ⋯ x_{i_{d}})) = NR_{O,G}(x_{i_{1}}O · M_{i_{2}} ⋯ M_{i_{d}} · M_{t_{1}}^{O}).

Bezeichnen wir mit v den Spaltenvektor M_{i_{2}} ⋯ M_{i_{d}} · M_{t_{1}}^{O}, dann ist

NR_{O,G}(τ) = NR_{O,G}(x_{i_{1}}O · v) = NR_{O,G}(x_{i_{1}}(v_{1}t_{1} + … + v_{μ}t_{μ})). Wir müssen nun zeigen, dass NR_{O,G}(x_{i_{1}}O · v) = O · M_{i_{1}} · v gilt. Wegen der Linearität von NR_{O,G} reicht es NR_{O,G}(x_{i_{1}}t_{j}) = O · M_{i_{1}} · M_{t_{j}}^{O} für j = 1, …, μ zu zeigen. Dies jedoch ist klar, da NR_{O,G}(x_{i_{1}}t_{j}) = ∑_{k=1}^{μ} a_{k}t_{k} mit (a_{1}, …, a_{μ})^{tr} j-te Spalte von M_{i_{1}}. □

Beispiel 1.19 Wir betrachten wieder das Beispiel 1.13. Für die zu (G, O^{+}) assoziierten Matrizen erhalten wir

M_{x} = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \end{matrix} ) M_{y} = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{matrix} ) .

Eine Berechnung von M = M_{x}^{2}M_{y} − M_{y}M_{x}^{2} ergibt

M = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

Nach der obigen Proposition ist nun NR_{O,G}(x^{2}y − yx^{2}) = (1, x, y, x^{2}, y^{2}) · M · M_{t_{1}}^{O} = y^{2}, was dem Ergebnis von Beispiel 1.13 entspricht.

Theorem 1.20 Sei O = (t_{1}, …, t_{μ}), so dass O ein Ordnungsideal ist, t_{1} = 1, O^{+} = (b_{1}, …, b_{ν}) mit zugrundeliegender Menge O^{+} und G = (g_{1}, …, g_{ν}) ein Tupel von Polynomen g_{i} ≠ 0 markiert durch O^{+} mit supp(g_{j} − b_{j}) ⊆ O für j = 1, …, ν. Ferner sei I das von G = {g_{1}, …, g_{ν}} erzeugte Ideal. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

a) Die Menge Ō = {t̄_{1}, …, t̄_{μ}} ist eine Basis von P/I als K-Vektorraum.

b) Das Paar (G, O^{+}) ist die Randbasis von I bzgl. O.

c) Die zu (G, O^{+}) assoziierten Matrizen M_{1}, …, M_{n} sind paarweise kommutierend.

Beweis. ”a) ⇒ b)”: Sei Ō = {t̄_{1}, …, t̄_{μ}} eine Basis von P/I als K-Vektorraum. Dann ist I ein

null-dim. Ideal und nach 1.14 lässt sich eine Randbasis (G′, O^{+}) von I mit G′ = (g′_{1}, …, g′_{ν}) berechnen und g′_{j} = b_{j} − ∑_{k=1}^{μ} a′_{kj}t_{k} ∈ I. Wegen g_{j} = b_{j} − ∑_{k=1}^{μ} a_{kj}t_{k} ist b̄_{j} = ∑_{k=1}^{μ} a_{kj}t̄_{k} = ∑_{k=1}^{μ} a′_{kj}t̄_{k} in P/I. Also folgt a_{kj} = a′_{kj} für alle k = 1, …, μ und damit g_{j} = g′_{j} für j = 1, …, ν. Also ist G′ = G und (G, O^{+}) eine Randbasis von I bzgl. O.

”b) ⇒ c)”: Sei nun (G, O^{+}) die Randbasis von I bzgl. O. Dann ist Ō eine Basis von P/I und wir definieren NF_{O,I} : P → V (O). Für k = 1, …, n und j = 1, …, μ ist x_{k}t_{j} ∈ O oder x_{k}t_{j} ∈ O^{+}. Daher ist NF_{O,I}(x_{k}t_{j}) = NR_{O,G}(x_{k}t_{j}) und mit 1.3 und 1.18 erhalten wir

O · M_{x_{k}}^{O} · t_{j}(M_{x_{1}}^{O}, …, M_{x_{n}}^{O}) · M_{e_{1}}^{O} = O · M_{k} · t_{j}(M_{1}, …, M_{n}) · M_{t_{1}}^{O}, also O · M_{x_{k}}^{O} · M_{t_{j}}^{O} = O · M_{k} · M_{t_{j}}^{O}. Aufgrund der linearen Unabhängigkeit der Elemente in O folgt nun die Gleichheit der j-ten Spalte von M_{x_{k}}^{O} und M_{k}. Für j = 1, …, μ ergibt sich damit M_{k} = M_{x_{k}}^{O} für k = 1, …, n. Wir wissen, dass M_{x_{1}}^{O}, …, M_{x_{n}}^{O} paarweise kommutieren und damit auch die zu (G, O^{+}) assozierten Matrizen M_{1}, …, M_{n}.

”c) ⇒ a)”: Seien M_{1}, …, M_{n} die zu (G, O^{+}) assozierten, paarweise kommutierenden Matrizen. Mit 1.18 können wir dann eine K-lineare Abbildung φ : P → V (O) definieren. Zu zeigen ist nun die Surjektivität von φ. Dafür genügt es, φ(t_{i}) = t_{i} für i = 1, …, μ zu zeigen. Mit Induktion nach dem Grad d von t_{i}: d=0: Für t_{i} = 1 ist nichts zu zeigen. d-1→ d: Sei nun d = deg(t_{i}) > 0. Es existiert ein k ∈ {1, …, n}, so dass

t_{i} = x_{k}t_{j} mit t_{j} ∈ O. Dann ist φ(t_{i}) = O · M_{k} · t_{j}(M_{1}, …, M_{n}) · M_{t_{1}}^{O} = O · M_{k} · M_{t_{j}}^{O}. Nun ist aber M_{k} · M_{t_{j}}^{O} die j-te Spalte von M_{k}, also (0, …, 0, 1, 0, …, 0)^{tr}, mit der 1 an der i-ten Stelle. Es ist also φ(t_{i}) = t_{i} und φ damit surjektiv. Nun ist Ō eine Basis von P/ker(φ), und es bleibt ker(φ) = (g_{1}, …, g_{ν}) zu zeigen. Konstruiere mit 1.14 eine Randbasis (G′, O^{+}) von ker(φ) mit G′ = (g′_{1}, …, g′_{ν}) und g′_{j} = b_{j} − ∑_{k=1}^{μ} a′_{kj}t_{k} ∈ ker(φ). Ist nun I ⊆ ker(φ), so folgt g_{j} = g′_{j} für j = 1, …, ν und wir sind fertig. Zeige also, dass g_{j} ∈ ker(φ). Für g_{j} existieren l ∈ {1, …, n} und m ∈ {1, …, μ}, so dass

φ(g_{j}) = φ(b_{j} − ∑_{k=1}^{μ} a_{kj}t_{k}) = φ(b_{j}) − (∑_{k=1}^{μ} a_{kj}φ(t_{k}) = φ(x_{l}t_{m}) − ∑_{k=1}^{μ} a_{kj}t_{k}

= O · M_{l} · t_{m}(M_{1}, …, M_{n}) · M_{t_{1}}^{O} − ∑_{k=1}^{μ} a_{kj}t_{k}

= O · M_{l} · M_{t_{m}}^{O} − ∑_{k=1}^{μ} a_{kj}t_{k} = O · (a_{1j}, …, a_{μ,j})^{tr} − ∑_{k=1}^{μ} a_{kj}t_{k}

= ∑_{k=1}^{μ} a_{kj}t_{k} − ∑_{k=1}^{μ} a_{kj}t_{k} = 0.

Also ist I = ker(φ) und somit Ō Basis von P/I. □

Korollar 1.21 Ist eine der äquivalenten Bedingungen aus dem obigen Theorem erfüllt, dann gilt

a) Das Ideal I ist null-dimensional und dim(P/I) = μ.

b) Die zu (G, O^{+}) assoziierten Matrizen M_{1}, …, M_{n} sind die Multiplikationsmatrizen von NF_{O,I}.

c) Die normale Restabbildung NR_{O,G} induziert eine Abbildung P → V (O), welche NF_{O,I} ist.

Beweis. a) folgt direkt aus 1.20a) und der Beweis von b) ist im Beweis von ”b) ⇒ c)” enthalten. Genauso folgt c) aus dem Beweis von ”c) ⇒ a)”. □

Beispiel 1.22 Wir wollen nun wieder wie in Beispiel 1.4 NF_{O,I}(x^{6}y^{2}) berechnen. Jedoch benutzen wir diesmal die in 1.16 berechnete Randbasis F. Es ist x^{6}y^{2} = x^{3}y^{2} · x^{3} und wir erhalten nach einem Reduktionsschritt mit dem durch x^{3} markierten Polynom g_{2} nun x^{4}y^{2} = xy^{2} ·x^{3}. Nochmalige Reduktion mit g_{2} ergibt x^{2}y^{2} = xy ·xy. Mit g_{1} markiert durch xy erhalten wir weiter

xy(x + \frac{1}{2}y − x^{2} + \frac{1}{2}y^{2}) = x^{2}y + \frac{1}{2}xy^{2} − x^{3}y + \frac{1}{2}xy^{3}.

Mit g_{2} und g_{3} (markiert durch y^{3}) ergibt sich

x^{2}y + \frac{1}{2}xy^{2} − xy + \frac{1}{2}xy = −\frac{1}{2}xy + x^{2}y + \frac{1}{2}xy^{2}

und mit g_{1}, g_{4} und g_{5} (markiert durch x^{2}y bzw. xy^{2}) letztlich

−\frac{1}{2}(−x^{2} + \frac{1}{2}y^{2} + x + \frac{1}{2}y) + \frac{1}{2}y^{2} + \frac{1}{2}y + \frac{1}{2}(x^{2} + \frac{1}{2}y^{2} + x + \frac{1}{2}y) = \frac{1}{2}y + \frac{1}{2}y^{2}.

Also ist NF_{O,I}(x^{6}y^{2}) = \frac{1}{2}y + \frac{1}{2}y^{2}, was dem Resultat Beispiel 1.5 entspricht. Dabei kommt es nicht auf die hier gewählten Reduktionen an, denn wegen 1.21c) erhalten wir stets dasselbe Ergebnis.

Anhang

[figure: x_{1}; x_{2}; ×; ×; ×; ×; ×; ×; ×; ×; ×; ×; ×; ×; ×; ×; ×]

Abbildung: Der Rand O^{+} eines Ordnungsideals O

× ˆ= Element im Ordnungsideal O ⊙ ˆ= Element im Rand O^{+} von O