Prof. Dr. M. Kreuzer Abgabe: Raum M 945, 21. Oktober 2003, 12:00 Uhr

Algebra I

Übungsblatt 1

The quantitative analysis of symmetry is called group theory. (Encyclopaedia Britannica: symmetry in physics)

Der Begriff der Gruppe, einer der ältesten und tiefsten mathematischen Begriffe überhaupt, ist durch Abstraktion hervorgegangen aus dem der Transformationsgruppe.

(Hermann Weyl: Gruppentheorie und Quantenmechanik)

Aufgabe 1: Sei G eine multiplikative Gruppe mit einer geraden Anzahl von Elementen. Zeigen Sie: Es gibt ein Element 1 ≠ g ∈ G, das zu sich selbst invers ist. (Mit anderen Worten, es gibt mindestens zwei selbstinverse Elemente. Kann man noch etwas mehr über die Anzahl der selbstinversen Elemente sagen?)

Aufgabe 2: Sei G eine multiplikative Gruppe mit 12 Elementen, darunter die Elemente a und b sowie das neutrale Element e. Es gelte

a^{k} ≠ e für 1 ≤ k < 6 , a^{6} = b^{2} = e , a b = b a^{−1} .

Stellen Sie die Gruppentafel auf.

Aufgabe 3: Zeigen Sie, dass eine Gruppe nicht die Vereinigung zweier echter Untergruppen sein kann.

Definition. Sei F ⊆ 𝔸(ℝ^{n}) eine Punktmenge im affinen Raum. Eine Symmetrie von F ist eine orthogonale Abbildung f: 𝔸(ℝ^{n}) → 𝔸(ℝ^{n}), so dass f(F) = F.

Aufgabe 4: Sei P eine Ecke eines Würfels. Beschreiben Sie die sechs Symmetrien eines Würfels, die den Fixpunkt P besitzen. Zeigen Sie, dass ein Würfel genau 48 Symmetrien besitzt.

Aufgabe 5:

a) Beschreiben Sie die Menge D_{3} aller Symmetrien des regelmäßigen Dreiecks mit Ecken (1, 0), (−1/2, \sqrt{3}/2) und (−1/2, −\sqrt{3}/2) in 𝔸(ℝ^{2}). Zeigen Sie, dass D_{3} eine Untergruppe aller othogonalen Abbildungen ist. Geben Sie die Verknüpfungstafel an.

b) Geben Sie einen Isomorphismus D_{3} ≅ S_{3} an.

c) Formulieren Sie zwei Verallgemeinerungen der Aufgabenstellung a).