Prof. Dr. M. Kreuzer Abgabe: Briefkasten 63, 13. Januar 2004, 12:00 Uhr

Algebra I

Übungsblatt 11

The central role played by ℂ in nineteenth-century algebra can be gleaned from the fact that during this period the result that ℂ is algebraically closed was called “the fundamental theorem of algebra.” We still retain this terminology but only out of respect for the past, since the theorem no longer plays a central role in algebra. For one thing, we are interested also in fields of characteristic p ≠ 0 (for example, because of their usefulness in number theory) and these can not be imbedded in ℂ.

(Nathan Jacobson: Basic Algebra I)

Aufgabe 1:

(a) Für welche n ∈ ℤ ist 3x^{2} + 2n x + 12 irreduzibel über ℚ?

(b) Beweisen Sie den Rationale-Nullstellen-Test: Ist z/n ∈ ℚ Nullstelle von a_{k}x^{k} + … + a_{0} ∈ ℤ[x], so gilt z|a_{0} und n|a_{k}.

(c) Welche der folgenden Polynome sind irreduzibel über ℚ?

(i) x^{3} + 2x^{2} + 8x + 2 (ii) x^{3} + 2x^{2} + 2x + 4 (iii) x^{3} + x^{2} + x + 1 (iv) x^{2} + 5x + 25

(v) x^{9} − \frac{41}{5} (vi) 5x^{5} + 30x^{4} + 42x^{3} + 6x + 12

Aufgabe 2: Bestimmen Sie [ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}) : ℚ]. Geben Sie eine ℚ-Basis an.

Aufgabe 3: Sei L|K eine algebraische Körpererweiterung und ϕ: L → L ein K-Homomorphismus.

(a) Zeigen Sie, für alle a ∈ L ist ϕ(a) Nullstelle des Minimalpolynoms μ_{a}.

(b) Bestimmen Sie alle ℚ-Homomorphismen ℚ( ^{3} \sqrt{2}) → ℚ( ^{3} \sqrt{2}).

(c) Bestimmen Sie alle ℚ-Homomorphismen ℚ(\sqrt{2}) → ℚ(\sqrt{2}).

Aufgabe 4: Sei \overline{ℚ} der algebraische Abschluss von ℚ. Zeigen Sie, dass die Körpererweiterung \overline{ℚ}|ℚ nicht endlich ist.

Aufgabe 5: Zeigen Sie:

(a) Jedes Polynom in ℚ[x] \ {0} besitzt höchstens endlich viele reelle Nullstellen.

(b) Die Menge ℚ[x] der Polynome mit rationalen Koeffizienten ist abzählbar.

(c) Die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar.

(d) Es gibt transzendente Zahlen in ℝ.