Prof. Dr. M. Kreuzer Abgabe: Briefkasten 63, 20. Januar 2004, 12:00 Uhr

Algebra I

Übungsblatt 12

Galois’ ideas, which for several decades remained a book with seven seals but later exerted a more and more profound influence upon the whole development of mathematics, are contained in a farewell letter written to a friend on the eve of his death, which he met in a silly duel at the age of twenty-one. This letter, if judged by the novelty and profundity of ideas it contains, is perhaps the most substantial piece of writing in the whole literature of mankind.

(Hermann Weyl: Symmetry)

Aufgabe 1: Sei L = ℚ(z) der Körper der rationalen Funktionen mit rationalen Koeffizienten und der Unbestimmten z. Weiter sei K = ℚ(\frac{z^{3}}{z+1}). Zeigen Sie, dass L eine einfache, algebraische Erweiterung von K ist. Bestimmen Sie das Minimalpolynom von z über K.

Aufgabe 2: Sei K = ℤ/(2ℤ) der Körper mit zwei Elementen. Es wurde bereits gezeigt, dass das Polynom x^{2} + x + 1 irreduzibel ist. Konstruieren Sie einen Körper mit vier Elementen als algebraische Erweiterung K(ξ) von K. Geben Sie die Additions- und Multiplikationstafel an. Beschreiben Sie die Wirkung des Frobenius-Endomorphismus K(ξ) → K(ξ) , α ↦ α^{2}.

Aufgabe 3: Welche der folgenden Polynome sind separabel über ℚ, ℤ_{2}, ℤ_{3}, ℤ_{5} bzw. ℤ_{7}? (ℤ_{n} := ℤ/nℤ)

t^{3} + 1 , t^{2} + 2t − 1 , t^{6} + t^{5} + t^{4} + t^{3} + t^{2} + t + 1 , 7t^{5} + t − 1

Aufgabe 4: (Diese Aufgabe ist einfach! Lediglich Anwendung der Definitionen und Bruchrechnung.) Sei L = K(t) der Körper der rationalen Funktionen in der Unbestimmten t mit Koeffizienten im Körper K. Weiter seien g_{1} = id, g_{2}, …, g_{6} die K-Homomorphismen mit

g_{2}(t) = \frac{1}{t} , g_{3}(t) = 1 − t , g_{4}(t) = \frac{1}{1 − t} , g_{5}(t) = \frac{t − 1}{t} , g_{6}(t) = \frac{t}{t − 1} .

(Anmerkung: Die Abbildungen sind wohldefiniert aufgrund der universellen Eigenschaften des Polynomrings und des Quotientenkörpers.) Zeigen Sie:

(a) Die sechs K-Homomorphismen bilden eine Gruppe G mit Komposition der Abbildungen; stellen Sie die Gruppentafel auf.

(b) Die Gruppe G operiert auf L vermöge G × L → L , (g, f) ↦ g(f).

(c) Die Fixpunktmenge F = {f ∈ L | f = g_{i}(f), i = 1, …, 6} ist ein Zwischenkörper der Erweiterung L|K.

(d) Die rationale Funktion

h = \frac{(x^{2} − x + 1)^{3}}{x^{2}(x − 1)^{2}}

liegt in F; berechnen Sie g_{i}(h) für 1 ≤ i ≤ 6. (Tipp: Die Gruppe G wird erzeugt von den zwei Elementen g_{2}, g_{3}.)