Prof. Dr. M. Kreuzer Abgabe: Briefkasten 63, 28. Oktober 2003, 12:00 Uhr

Algebra I

Übungsblatt 2

Many [problems] are introduced not so much to be solved as to be tackled. The value of a problem is not so much in coming up with the answer as in the ideas and attempted ideas it forces on the would-be solver. … Problems, which for some reason or other seem hard to me, are often starred (sometimes with two stars). However, even here there will be no agreement among mathematicians; many will feel that some unstarred problems should be starred and vice versa.)

(I. N. Herstein: Topics in Algebra)

Aufgabe 1: In beiden (voneinander unabhängigen) Aufgabenteilen sei G eine multiplikative Halbgruppe.

a) Es gebe ein linksneutrales Element e, d.h. e a = a für alle a ∈ G, und zu jedem a ∈ G gebe es ein linksinverses Element a′, also a′ a = e. Zeigen Sie, dass dann G eine Gruppe ist.

b) Die Gleichungen a x = b und y c = d seien für alle a, b, c, d ∈ G eindeutig lösbar. Zeigen Sie, dass dann G eine Gruppe ist.

(Tipp: Formulieren Sie jeweils zunächst genau, was zu zeigen ist.) Aufgabe 2:

a) Sei G eine endliche Gruppe und H eine Untergruppe. Zeigen Sie, dass die Ordnung von H die Ordnung von G teilt.

b) Sei G eine Gruppe und H eine endliche Teilmenge von G, die bezüglich der Gruppenverknüpfung abgeschlossen ist. Zeigen Sie, dass H eine Untergruppe ist.

Aufgabe 3: Basteln Sie ein Modell des Oktaeders (vgl. Anleitung in der Übung). Wieviele Symmetrien besitzt das Oktaeder? Aufgabe 4: Sei (G, ·) eine abelsche Gruppe.

a) Seien a, b ∈ G mit endlichen, teilerfremden Ordnungen k bzw. l. Zeigen Sie, dass a · b die Ordnung k l besitzt.

b) Sei a ∈ G und p ein Primteiler der Ordnung von a. Zeigen Sie, dass es ein Element mit Ordnung p gibt.

Aufgabe 5:

a) Bestimmen Sie die Ordnung jedes Elements von ℤ/(12ℤ).

b) Bestimmen Sie die Ordnung jedes Elements der Kleinschen Vierergruppe.

c) (*) Sei (G, ·) eine endliche abelsche Gruppe. Weiter habe für jede positive ganze Zahl k die Gleichung

x^{k} = 1

höchstens k Lösungen in G. Zeigen Sie, dass G zyklisch ist.