Prof. Dr. M. Kreuzer Abgabe: Briefkasten 63, 25. November 2003, 12:00 Uhr

Algebra I

Übungsblatt 6

The theory of abelian groups is a branch of algebra which deals with commutative groups. Curiously enough, it is rather independent of general group theory: its basic methods bear only a slight resemblance to the noncommutative case, and there are reasons to believe that no other condition on groups is more decisive for the group structure than commutativity.

(László Fuchs: Infinite Abelian Groups)

In abelian groups, topology can be introduced in various ways which are natural in one sense or another. These topologies are not necessarily Hausdorff; some of them do not even make the group operations contiuous. The importance of topologies in abelian groups will be evident from subsequent developments.

(László Fuchs: Infinite Abelian Groups)

Aufgabe 1: Sei G eine Gruppe und n eine natürliche Zahl. Beweisen oder widerlegen Sie:

a) Gilt (ab)^{2} = a^{2}b^{2} für alle a, b ∈ G, so ist G abelsch.

b) Gilt (ab)^{i} = a^{i}b^{i} für alle a, b ∈ G und i ∈ {n, n + 1, n + 2}, so ist G abelsch.

Aufgabe 2: Beweisen Sie, dass die Gruppe der rationalen Zahlen ℚ lokalzyklisch ist, d.h. jede endlich erzeugte Untergruppe ist zyklisch. Ist ℚ eine endlich erzeugte abelsche Gruppe?

Aufgabe 3: Sei p eine Primzahl. Die (Abstraktion der) Untergruppe Z(p^{∞}) := ⟨\frac{1}{p^{k}} : k ∈ ℕ⟩ ⊆ ℚ/ℤ heißt quasizyklische Gruppe zur Primzahl p.

a) Zeigen Sie, dass Z(p^{∞}) eine unendliche p-Gruppe ist. Ist sie zyklisch?

b) Bestimmen Sie alle Untergruppen von Z(p^{∞}). Welche davon sind zyklisch?

c) Bestimmen Sie alle Faktorgruppen von Z(p^{∞}).

d) Ist Z(p^{∞}) lokal-zyklisch (vgl. Aufgabe 2)? Zeigen Sie, dass Z(p^{∞}) eine abelsche Gruppe ist, die nicht endlich erzeugt ist.

Aufgabe 4: Berechnen Sie das Zentrum der Diedergruppe D_{n}. Geben Sie eine nicht-kommutative p-Gruppe an.

Aufgabe 5: Eine Gruppe G ≠ {e} heißt einfach, wenn {e} und G ihre (einzigen) Normalteiler sind (vgl. Primzahldefinition).

1. Bestimmen Sie die Anzahl der Elemente der Konjugationsklassen der alternierenden Gruppe A_{5} (Tipp: disjunkte Zykeldarstellung).

2. Zeigen Sie, ein Normalteiler ist eine Untergruppe, die Vereinigung von Konjugationsklassen ist.

3. Zeigen Sie, dass A_{5} einfach ist.