Lösungsbeispiele zu Übungsblatt 13

Aufgabe 3: Sei K = ℤ/pℤ mit Primzahl p und L := K(x, y) der Körper der rationalen Funktionen in den Unbestimmten x und y. Zeigen Sie:

(a) L^{p} = K(x^{p}, y^{p}) und [L : L^{p}] = p^{2}.

(b) L = ⋃_{a∈L\L^{p}} L^{p}(a) und dabei ist [L^{p}(a) : L^{p}] = p.

(c) Ein Vektorraum über einem Körper mit unendlich vielen Elementen ist keine Vereinigung endlich vieler echter Unterräume.

(d) L|L^{p} besitzt unendlich viele Zwischenkörper.

(a) Da bei dieser Aufgabe ein Körper der Charakteristik p vorliegt, gilt (a+b)^{p} = a^{p} +b^{p} für alle a, b ∈ L. Insbesondere gilt für Polynome aus K[x, y] die Identität

(f(x, y))^{p} = ( ∑_{k,l≥0} f_{kl}x^{k}y^{l})^{p}
= ∑_{k,l≥0}(f_{kl})^{p}(x^{p})^{k}(y^{p})^{k}
= ∑_{k,l≥0} f_{kl}(x^{p})^{k}(y^{p})^{k} ∈ K[x^{p}, y^{p}]

Beachte, dass der Frobenius-Homomorphismus ℤ/pℤ → ℤ/pℤ, α ↦ α^{p} die Identität ist. (Folgt aus α^{p−1} ≡ 1 (mod p) (Fermat) durch Multiplikation mit α.) Damit gilt (K[x, y])^{p} = K[x^{p}, y^{p}].

Da jedes Element von L = K(x, y) als ein Quotient von Polynomen aus K[x, y] darstellbar ist, folgt L^{p} = K(x^{p}, y^{p}).

Um [L: L^{p}] = p^{2} zu zeigen, verwende zunächst die Gradformel,

[L: L^{p}] = [K(x, y): K(x^{p}, y)] · [K(x^{p}, y): K(x^{p}, y^{p})] .

Beide Faktoren haben den Erweiterungsgrad p: Der Körper K(x, y) ist eine einfache, algebraische Erweiterung von K(x^{p}, y), denn K(x, y) = K(x^{p}, y)(x) und z^{p} − x^{p} ∈ K(x^{p}, y)[z] ist ein Polynom mit Nullstelle x. Dass der Erweiterungsgrad genau p ist, folgt aus der Irreduzibilität des angegebenen Polynoms: Im Polynomring K[x^{p}, y] ist x^{p} ein irreduzibles Element. Damit lässt sich das Eisenstein-Kriterium auf z^{p} − x^{p} ∈ (K[x^{p}, y])[z] anwenden. Der Satz von Gauß liefert die Irreduzibilität über K(x^{p}, y).

Analog zeigt man, dass der zweite Faktor den Erweiterungsgrad p besitzt.

(b) Zunächst ist die Gleichheit L = ⋃_{a∈L\L^{p}} L^{p}(a) zu zeigen. Für alle a ∈ L gilt L^{p}(a) ⊆ L, also die Inklusion ⊇. Für die umgekehrte Inklusion sind zwei Fälle zu unterscheiden. Ist a ∈ L \ L^{p}, so gilt a ∈ L^{p}(a). Ist b ∈ L^{p}, so gilt b ∈ L^{p}(a) für beliebiges a ∈ L\L^{p}; ein solches existiert, da [L: L^{p}] ≠ 1.

Nun zum Erweiterungsgrad [L^{p}(a): L^{p}] = p. Da L^{p}(a) ein Zwischenkörper von L|L^{p} ist, ist der Erweiterungsgrad ein Teiler von p^{2}. Da es sich um eine einfache Erweiterung handelt und z^{p} − a^{p} ∈ L^{p}[z] die Nullstelle a besitzt, folgt [L^{p}(a): L^{p}] ≤ p. Da a ∈ L \ L^{p} vorausgesetzt ist, folgt [L^{p}(a): L^{p}] > 1.

(c) Ohne die (untere) Einschränkung an die Elementeanzahl ist die Aussage falsch. Ein Gegenbeispiel ist gegeben durch den zweidimensionalen Vektorraum (ℤ/2ℤ)^{2}: Er ist Vereinigung der Geraden

{(0, 0), (0, 1)} , {(0, 0), (1, 0)} , {(0, 0), (1, 1)} .

Wir setzen nun einen unendlichen Körper K voraus. Als Widerspruchsannahme sei V = U_{1} ∪ … ∪ U_{n}, wobei oBdA keiner der echten Unterräume U_{i} in der Vereinigung der anderen Unterräume enthalten sein soll. Dann gibt es ein x_{1} ∈ U_{1} \ (U_{2} ∪ … ∪ U_{n}) und ein x_{n} ∉ U_{1}. Betrachte die Gerade g := {x_{n} + λx_{1} | λ ∈ K}. Sie hat unendlich viele Elemente.

Da x_{n} ∉ U_{1}, gilt g ∩ U_{1} = ∅. Weiter wollen wir zeigen, dass g ∩ U_{i} auch höchstens einelementig ist für alle 1 < i ≤ n. Seien x_{n} +αx_{1} = x_{n} +βx_{1} ∈ U_{i}. Dann gilt (α − β)x_{1} ∈ U_{i}. Nach Voraussetzung ist x_{1} ∉ U_{i}, also folgt α = β.

Damit enthält g = g ∩ V = (g ∩ U_{1}) ∪ … ∪ (g ∩ U_{n}) höchstens n − 1 Elemente im Widerspruch dazu, dass g unendlich viele Elemente enthält.

(d) In (b) wurde gezeigt, dass L eine Vereinigung von echten Zwischenkörpern ist. Nach (c) muss es also unendlich viele davon geben.

Aufgabe 4: Wahr oder falsch?

(a) Jeder injektive K-Homomorphismus ist ein K-Automorphismus.

Falsch: Die Einbettung K → K(x) für x ∉ K ist nicht surjektiv.

(b) Jede endliche Körpererweiterung hat eine normale Hülle.

Wahr: Jede endliche Erweiterung ist algebraisch und jede algebraische Erweiterung besitzt eine normale Hülle.

(c) Jede Erweiterung eines Körpers mit Charakteristik 0 ist normal.

Falsch: ℚ( ^{3} \sqrt{2})|ℚ ist nicht normal.

(d) Eine Körpererweiterung mit Galoisgruppe der Ordnung 1 ist normal.

Falsch: Gal(ℚ( ^{3} \sqrt{2})|ℚ) = \{id\}.

(e) Eine endliche, separable, normale Körpererweiterung besitzt eine endliche Galoisgruppe.

Wahr: Unter den Voraussetzungen ist der endliche Erweiterungsgrad gleich der Ordnung der Galoisgruppe.

(f) Jede Galoisgruppe ist abelsch.

Falsch: Gegenbeispiel s. Aufgabe 2.

(g) Eine Galoiserweiterung L|K mit [L : K] = n besitzt eine Galoisgruppe der Ordnung n.

Wahr: Für eine Galoiserweiterung gilt [L: K] = |Gal(L|K)|.

(h) Die Galoisgruppe einer normalen Körpererweiterung ist zyklisch.

Falsch: Gegenbeispiel s. Aufgabe 2.