Lösungsvorschlag zu Übungsblatt 2

Aufgabe 1. a) Es ist zu zeigen, dass das linksneutrale Element e auch rechtsneutral ist und dass die linksinversen Elemente auch rechtsinvers zum jeweiligen Element sind.

Sei a ∈ G und a′ ein linksinverses Element von a. Sei weiter a′′ ein linksinverses Element von a′. Dann gilt

a a′ = e (a a′) = (a′′ a′)(a a′) = a′′(a′ a)a′ = a′′ e a′ = a′′(e a′) = a′′ a′ = e ,

also ist a′ auch rechtsinvers zu a. Wie findet man diese Gleichungskette? Wir müssen zeigen a a′ = e. Zwar können wir von beiden Seiten multiplizieren, aber lediglich bei der Linksmultiplikation gibt es brauchbare Voraussetzungen.

Nun zum linksneutralen Element: Wir verwenden die soeben gezeigte Eigenschaft, dass Linksinverse auch rechtsinvers sind und erhalten

a e = a (a′ a) = (a a′) a = e a = a .

Das linksneutrale Element ist folglich auch rechtsneutral.

b) Beachte: Nur die Lösbarkeit der Gleichungen, nicht die Eindeutigkeit der Lösung, wird in diesem Beweis benötigt.

Nach Voraussetzung gibt es zu jedem a ∈ G ein e_{a} ∈ G als Lösung der Gleichung

e_{a} a = a .

Damit gibt es zu jedem Element ein Linksneutrales. Wir müssen zeigen, dass es ein Element gibt, welches zu allen Elementen linksneutral ist. Sei b ∈ G. Nach Voraussetzung gibt es ein c ∈ G als Lösung der Gleichung

b = a c .

Damit gilt

e_{a} b = e_{a}(a c) = (e_{a} a)c = a c = b .

Das Element e := e_{a} ist somit linksneutral zu jedem beliebigen Element b ∈ G. Schließlich gibt es zu jedem a ∈ G ein Linksinverses a′ ∈ G als Lösung der Gleichung

a′ a = e .

Damit sind die Voraussetzungen von Aufgabenteil a) nachgewiesen. Mit dem obigen Beweis folgt, dass G eine Gruppe ist.

Aufgabe 2. a) Vgl. Beweis von Satz 1.11 b) der Vorlesung.

Die (Links-)Nebenklassen der Untergruppe H bilden eine Partition der Menge G, denn zwei Nebenklassen sind entweder gleich oder disjunkt. Auch sind alle Nebenklassen gleichmächtig zur Untergruppe H, weil die Linkstranslation λ_{g}: H → g H, h ↦ g h bijektiv ist. (Das gilt ebenfalls für unendliche Gruppen und Untergruppen.)

Da G endlich ist, ist auch H endlich und die Menge G ist als disjunkte Vereinigung endlich vieler Nebenklassen darstellbar,

G = H ∪ g_{2} H ∪ … ∪ g_{i} H .

Da die Vereinigung disjunkt ist, folgt

|G| = |H| + |g_{2} H| + … + |g_{i} H| = i · |H| .

[Das Symbol |H| ist synonym zu # H, bezeichnet also die Ordnung der (Unter-)Gruppe.]

b) Es wäre besser gewesen, wenn ich explizit gefordert hätte, dass H nichtleer sein soll. Die leere Menge wird häufig auch als endliche Menge angesehen.

Sei h ∈ H. Nach Voraussetzung enthält H alle Potenzen

h, h^{2}, h^{3}, h^{4}, …

Da H endlich ist, muss diese unendliche Folge doppelte Elemente enthalten, sagen wir h^{i} = h^{j} mit i < j. Dann sind h^{j−i} = e und h^{−1} = h^{j−i−1}, falls j − i > 1, ebenfalls in der Folge enthalten. Ist j − i = 1, so ist h^{1} = e selbstinvers und in ebenfalls in der Folge enthalten. Die nichtleere Teilmenge H ist mithin unter Produktbildung und Inversenbildung abgeschlossen, d.h. eine Untergruppe.