Lösungsvorschlag zu Übungsblatt 5, Aufgabe 1

Aufgabe 1: Sei ℤ_{2} := ℤ/(2ℤ). Seien V := ({e, a, b, c}, ·) die abstrakte Kleinsche Vierergruppe und

σ: a ↦ a, b ↦ c, c ↦ b

ein Automorphismus von V. Sei weiter φ: ℤ_{2} → Aut(V), ¯1 ↦ σ. Geben Sie konkret die Verknüpfungsvorschrift des semidirekten Produkts V ×_{φ} ℤ_{2} an und stellen Sie die Gruppentafel auf. Ist V ×_{φ} ℤ_{2} abelsch? Bestimmen Sie den Exponenten der Gruppe. Ist V ×_{φ} ℤ_{2} isomorph zum direkten Produkt V × ℤ_{2}?

Die Verknüpfungsvorschrift lautet

(V ×_{φ} ℤ_{2}) × (V ×_{φ} ℤ_{2}) → V ×_{φ} ℤ_{2} , ((g, k̄), (h, l̄)) ↦ (g φ(k̄)(h), k̄ + l̄) .

(Beachte, dass ℤ_{2} üblicherweise additiv geschrieben wird.) Damit ergibt sich die folgende Gruppentafel:

(e,0) (a,0) (b,0) (c,0) (e,1) (a,1) (b,1) (c,1)
(e,0)  (e,0) (a,0) (b,0) (c,0) (e,1) (a,1) (b,1) (c,1)
(a,0)  (a,0) (e,0) (c,0) (b,0) (a,1) (e,1) (c,1) (b,1)
(b,0)  (b,0) (c,0) (e,0) (a,0) (b,1) (c,1) (e,1) (a,1)
(c,0)  (c,0) (b,0) (a,0) (e,0) (c,1) (b,1) (a,1) (e,1)
(e,1)  (e,1) (a,1) (c,1) (b,1) (e,0) (a,0) (c,0) (b,0)
(a,1)  (a,1) (e,1) (b,1) (c,1) (a,0) (e,0) (b,0) (c,0)
(b,1)  (b,1) (c,1) (a,1) (e,1) (b,0) (c,0) (a,0) (e,0)
(c,1)  (c,1) (b,1) (e,1) (a,1) (c,0) (b,0) (e,0) (a,0)
Ordnung 1  2  2  2  2  2  4  4

Es gilt z.B. (b, ¯1)(a, ¯1) ≠ (a, ¯1)(b, ¯1), also ist dieses semidirekte Produkt nicht abelsch (vgl. auch Vorlesung: φ ≠ id). Der Exponent ist 4. Dieses semidirekte Produkt ist nicht isomorph zum direkten Produkt V × ℤ_{2}, da das direkte Produkt zweier abelscher Gruppen abelsch ist.