Lösungen zu Übungsblatt 6

Aufgabe 1: Sei G eine Gruppe und n eine natürliche Zahl. Beweisen oder widerlegen Sie:

a) Gilt (ab)^{2} = a^{2}b^{2} für alle a, b ∈ G, so ist G abelsch.

b) Gilt (ab)^{i} = a^{i}b^{i} für alle a, b ∈ G und i ∈ {n, n + 1, n + 2}, so ist G abelsch.

a) Schreibt man die gegebene Gleichung aus, so erhält man abab = aabb. Multiplikation von links mit a^{−1} und von rechts mit b^{−1} liefert ba = ab.

b) Aus den vorgegebenen Gleichungen

(ab)^{n} = a^{n}b^{n} ,  (ab)^{n+1} = a^{n+1}b^{n+1} ,  (ab)^{n+2} = a^{n+2}b^{n+2}

erhält man wie in Aufgabenteil a) die Gleichungen

(ba)^{n−1} = a^{n−1}b^{n−1} ,  (ba)^{n} = a^{n}b^{n} ,  (ba)^{n+1} = a^{n+1}b^{n+1} .

Damit gilt

(ba)(ba)^{n} = (ba)^{n+1} = a^{n+1}b^{n+1} = (ab)^{n+1} = (ab)(ab)^{n} .

In dieser Gleichung lässt sich (ba)^{n} = a^{n}b^{n} = (ab)^{n} kürzen, und man erhält ba = ab.

Aufgabe 2: Beweisen Sie, dass die Gruppe der rationalen Zahlen ℚ lokalzyklisch ist, d.h. jede endlich erzeugte Untergruppe ist zyklisch. Ist ℚ eine endlich erzeugte abelsche Gruppe?

Jede endlich erzeugte Untergruppe U von ℚ besitzt eine Darstellung U = ⟨\frac{z_{1}}{n_{1}} , …, \frac{z_{r}}{n_{r}} ⟩. Es gilt U ⊆ ⟨\frac{1}{n_{1}···n_{r}} ⟩. Als Untergruppe einer zyklischen Gruppe ist U also zyklisch.

Jede endlich erzeugte Untergruppe ist - wie eben gesehen - zyklisch, also von der Form ⟨\frac{z}{n}⟩. Es gilt \frac{1}{2n} ∉ ⟨\frac{z}{n}⟩. Folglich ist ℚ nicht endlich erzeugt.

Aufgabe 3: Sei p eine Primzahl. Die (Abstraktion der) Untergruppe Z(p^{∞}) := ⟨\frac{1}{p^{k}} : k ∈ ℕ⟩ ⊆ ℚ/ℤ heißt quasizyklische Gruppe zur Primzahl p.

a) Zeigen Sie, dass Z(p^{∞}) eine unendliche p-Gruppe ist. Ist sie zyklisch?

b) Bestimmen Sie alle Untergruppen von Z(p^{∞}). Welche davon sind zyklisch?

c) Bestimmen Sie alle Faktorgruppen von Z(p^{∞}).

d) Ist Z(p^{∞}) lokal-zyklisch (vgl. Aufgabe 2)? Zeigen Sie, dass Z(p^{∞}) eine abelsche Gruppe ist, die nicht endlich erzeugt ist.

[vgl. Übung] Aufgabenteil b) kann noch etwas eleganter gelöst werden - Herzlichen Dank an Sven Badke für den Hinweis! Sei U eine Untergruppe. Definiere K wie in Übung. Der Fall |K| = ∞ bleibt unverändert. Sei nun K = \{0, 1, …, k̄\}. Sei \frac{z}{p^{k}} + ℤ ∈ U mit (z, p) = 1. Dieses Element besitzt die Ordnung p^{k}, also ist auch \frac{1}{p^{k}} + ℤ ∈ U. Folglich ist U = Z(pk̄).

Aufgabe 4: Berechnen Sie das Zentrum der Diedergruppe D_{n}. Geben Sie eine nicht-kommutative p-Gruppe an.

Verwende die Definition

D_{n} := ⟨s, d | s^{2} = 1 = d^{n}, s d = d^{−1} s⟩ n = 2, 3, …

Der Fall n = 2 passt nicht mehr zur Definition als Symmetriegruppe eines regelmäßigen n-Ecks; bei der Definition durch Erzeugende und Relationen ist er aber durchaus sinnvoll. Die nachfolgende Rechnung zeigt auch die Bedeutung dieses Sonderfalls der Diedergruppe.

Jedes Element von D_{n} besitzt eine Darstellung d^{k} s^{l} mit 0 ≤ k < n, 0 ≤ l ≤ 1. Sei z ∈ Z(D_{n}).

1. Fall: Sei z von der Form d^{k} s^{0} = d^{k} mit k ∈ {0, 1, …, n − 1}. Als Zentrumselement muss z mit allen Gruppenelementen vertauschen. Äquivalent dazu, z muss mit den Erzeugenden s und d vertauschen. Letzteres folgt sofort daraus, dass ⟨d⟩ eine abelsche Untergruppe ist. Die Vertauschbarkeit mit s liefert die Bedingung d^{k} s = s d^{k} = d^{−k} s, also d^{2k} = 1 und n | 2k. Dieser Fall liefert somit: Ist n ungerade, so besitzt D_{n} kein Zentrumslement der Form d^{k} (ausgenommen d^{0} = 1). Ist n gerade, so gilt Z(D_{n})∩⟨d⟩ = {1, d^{n/2}}.

2. Fall: Sei z von der Form d^{k} s. Die Vertauschbarkeit mit s liefert d^{k} = d^{k} s s = s d^{k} s = d^{−k} s s = d^{−k}, also wie oben d^{2k} = 1. Die Vertauschbarkeit mit d führt zu der Bedingung d^{k+1}s = d^{k} s d = d^{k−1} s, d.h. d^{2} = 1. Damit n = 2.

Wir erhalten

Z(D_{n}) = \{ \begin{matrix}D_{2} & , falls n = 2 \\ \{1, d^{n/2}\} & , falls n = 4, 6, 8, … \\ \{1\} & , falls n = 3, 5, 7, … \end{matrix}

Aufgabe 5: Eine Gruppe G ≠ {e} heißt einfach, wenn {e} und G ihre (einzigen) Normalteiler sind (vgl. Primzahldefinition).

1. Bestimmen Sie die Anzahl der Elemente der Konjugationsklassen der alternierenden Gruppe A_{5} (Tipp: disjunkte Zykeldarstellung).

2. Zeigen Sie, ein Normalteiler ist eine Untergruppe, die Vereinigung von Konjugationsklassen ist.

3. Zeigen Sie, dass A_{5} einfach ist.

[vgl. Übung]