Lösung zu Übungsblatt 7, Aufgabe 4

Aufgabe 4: Sei G eine Gruppe und G^{(1)} := G′ ihre Kommutatorgruppe. Definiere induktiv G^{(n+1)} := (G^{(n)})′ für n ≥ 1. Daraus ergibt sich die Inklusionskette

G ⊇ G′ ⊇ G^{(2)} ⊇ G^{(3)} ⊇ …

a) Sei N ein Normalteiler von G. Zeigen Sie, (G/N)′ = G′N/N.

b) Zeigen Sie, dass G genau dann auflösbar ist, wenn es ein k ∈ ℕ gibt mit G^{(k)} = {e}.

c) Sei H ein Normalteiler von G, so dass H und G/H auflösbar sind. Zeigen Sie, dass dann auch G auflösbar ist.

a) Beachte, das in diesem Aufgabenteil eine Gleichheit und nicht nur eine Isomorphie zu zeigen ist. Die Kommutatorgruppe (G/N)′ ist eine Untergruppe von G/N, also sind ihre Elemente Nebenklassen der Untergruppe N in G. Da G′ N = N G′ gilt (sogar beide Untergruppen G′ und N sind Normalteiler), gehört die Menge G′N zu einer Untergruppe von G, die insbesondere die Untergruppe N enthält. Es gilt N ≤ G′N ≤ G. Damit ist die Faktorgruppe G′N/N sinnvoll definiert, und ihre Elemente sind ebenfalls Nebenklassen von N in G′N ≤ G. In beiden Gruppen (G/N)′ und G′N/N ist die Verknüpfung durch die Verknüpfung in G induziert, d.h. wir brauchen lediglich zu prüfen, ob die Mengen der Nebenklassen übereinstimmen. Die Nebenklassen in (G/N)′ sind von der Form

[a_{1}N, b_{1}N] ⋯ [a_{r}N, b_{r}N] = ([a_{1}, b_{1}] ⋯ [a_{r}, b_{r}])N ,

wobei [a, b] := aba^{−1}b^{−1} den Kommutator bezeichnet. Die Nebenklassen in G′N/N sind von der Form

([a_{1}, b_{1}] ⋯ [a_{r}, b_{r}])n N = ([a_{1}, b_{1}] ⋯ [a_{r}, b_{r}])N .

Die Gruppen verwenden also dieselben Nebenklassen als Elemente.

b) [⇒] Sei G auflösbar. Dann gibt es eine Kette von Untergruppen

{e} = N_{0} < N_{1} < … < N_{l} = G ,

wobei N_{i−1} ein Normalteiler von N_{i} (nicht unbedingt von G!!!) ist und die Faktorgruppen N_{i}/N_{i−1} abelsch sind. Nach der früheren Übungsaufgabe über die Kommutatorgruppe gilt dann (N_{i})′ ≤ N_{i−1}. Also gilt

G′ ≤ N_{l−1} , (N_{l−1})′ ≤ N_{l−2} , …, (N_{1})′ ≤ {e} .

Da allgemein aus H ≤ K auch H′ ≤ K′ folgt (Beweis?), erhält man

G^{(2)} ≤ (N_{l−1})′ ≤ N_{l−2} , G^{(3)} ≤ N_{l−3} , …, G^{(l)} ≤ {e} .

[⇐] Sei G^{(k)} = {e}. Die Untergruppenkette

{e} = G^{(k)} ≤ G^{k−1} ≤ … ≤ G

genügt der Definition von auflösbar: G^{(i)} = (G^{(i−1)})′ ist Normalteiler in G^{(i−1)} und die Faktorgruppe G^{(i−1)}/G^{(i)} ist abelsch (vgl. frühere Übungsaufgabe über Kommutatorgruppe).

c) Seien G/H und H auflösbar. Nach Aufgabenteil b) gibt es dann k, l ∈ ℕ mit (G/H)^{(k)} = {H} (Beachte, H ist das neutrale Element in G/H) und H^{(l)} = {e}. Induktiv liefert Aufgabenteil a) dann (G/H)^{(k)} = (G^{(k)}H)/H, also G^{(k)} ≤ H. Es folgt G^{(k+l)} = {e}.