Lösungen zu Übungsblatt 8

Aufgabe 3: Bestimmen Sie alle Ringe mit der Eigenschaft, dass jede additive Untergruppe bereits ein Ideal ist. (Tipp: Betrachten sie in dem zu untersuchenden Ring den Primring.)

Es gilt die Generalvoraussetzung, dass - weil nichts anderes explizit gesagt wird - die Ringe kommutativ sind mit Einselement.

Sei R ein Ring, so dass jede additive Untergruppe ein Ideal ist. Sein Primring P := {k · 1_{R} | k ∈ ℤ} ist eine additive Untergruppe, also nach Voraussetzung ein Ideal. Da 1_{R} ∈ P gilt, folgt R = P. Damit ist gezeigt, dass nur Primringe in Frage kommen. Es bleibt zu prüfen, ob alle Primringe die geforderte Eigenschaft haben.

1. Fall. R = ℤ.

Die Untergruppen von ℤ sind von der Gestalt kℤ für k ∈ ℕ. Diese Untergruppen sind auch Ideale.

2. Fall. R = ℤ_{n}.

Betrachte den kanonischen Ringhomomorphismus φ: ℤ → ℤ_{n}. Jede Untergruppe U von ℤ_{n} hat eine Untergruppe φ^{−1}(U) von ℤ als Urbild. Nach dem ersten Fall ist φ^{−1}(U) ein Ideal. Da φ surjektiv ist, ist auch U = φ(φ^{−1}(U)) ein Ideal.

Folglich haben genau die Primringe die angegebene Eigenschaft.

Aufgabe 5: Sei Q die Menge aller Symbole α := α_{0} + α_{1} i + α_{2} j + α_{3} k, wobei α_{0}, …, α_{3} ∈ ℝ seien. Definiere die Addition

α + β := (α_{0} + β_{0}) + (α_{1} + β_{1})i + (α_{2} + β_{2})j + (α_{3} + β_{3})k

und die Multiplikation

α · β := (α_{0}β_{0} − α_{1}β_{1} − α_{2}β_{2} − α_{3}β_{3}) + (α_{0}β_{1} + α_{1}β_{0} + α_{2}β_{3} − α_{3}β_{2})i

+ (α_{0}β_{2} + α_{2}β_{0} + α_{3}β_{1} − α_{1}β_{3})j + (α_{0}β_{3} + α_{3}β_{0} + α_{1}β_{2} − α_{2}β_{1})k .

Mit diesen Verknüpfungen bildet Q den reellen Quaternionenring.

a) Zeigen Sie, dass Q ein Einselement besitzt.

b) Zeigen Sie durch Aufstellen der Gruppentafel, dass {±1, ±i, ±j, ±k} eine 8-elementige multplikative Untergruppe bildet (Quaternionengruppe). Ist der Ring Q kommutativ?

c) Zeigen Sie, dass jedes von 0 verschiedene Element invertierbar ist.

a) Sei 1_{Q} := 1_{ℝ} + 0_{ℝ}i + 0_{ℝ}j + 0_{ℝ}k. Es gilt

α · 1_{Q} = (α_{0}1_{ℝ} − α_{1}0_{ℝ} − α_{2}0_{ℝ} − α_{3}0_{ℝ}) + (α_{0}0_{ℝ} + α_{1}1_{ℝ} + α_{2}0_{ℝ} − α_{3}0_{ℝ})i

+ (α_{0}0_{ℝ} + α_{2}1_{ℝ} + α_{3}0_{ℝ} − α_{1}0_{ℝ})j + (α_{0}0_{ℝ} + α_{3}1_{ℝ} + α_{1}0_{ℝ} − α_{2}0_{ℝ})k

= α_{0} + α_{1} i + α_{2} j + α_{3} k

und

1_{Q} · β := (1_{ℝ}β_{0} − 0_{ℝ}β_{1} − 0_{ℝ}β_{2} − 0_{ℝ}β_{3}) + (1_{ℝ}β_{1} + 0_{ℝ}β_{0} + 0_{ℝ}β_{3} − 0_{ℝ}β_{2})i
+ (1_{ℝ}β_{2} + 0_{ℝ}β_{0} + 0_{ℝ}β_{1} − 0_{ℝ}β_{3})j + (1_{ℝ}β_{3} + 0_{ℝ}β_{0} + 0_{ℝ}β_{2} − 0_{ℝ}β_{1})k
= β_{0} + β_{1} i + β_{2} j + β_{3} k

b) Durch Einsetzen in die Definition der Multiplikation ergibt sich:

1 -1 i -i j -j k -k
1 1 -1 i -i j -j k -k
-1 -1 1 -i i -j j -k k
i i -i -1 1 k -k -j j
-i -i i 1 -1 -k k j -j
j j -j -k k -1 1 i -i
-j -j j k -k 1 -1 -i i
k k -k j -j -i i -1 1
-k -k k -j j i -i 1 -1

Die Tafel zeigt, dass die Menge {±1, ±i, ±j, ±k} unter der Multiplikation in Q abgeschlossen ist. Die Menge enthält das Einselement und jedes Element ist invertierbar. Die Menge bildet also tatsächlich eine multiplikative Untergruppe.

Es gilt z.B. i j = k ≠ −k = j i, d.h. die Untergruppe (und damit auch der Ring) ist nicht kommutativ.

Anmerkung: Diese Gruppe repräsentiert eine weitere Isomorphieklasse für Gruppen der Ordnung 8 (neben den abelschen Gruppen und der Diedergruppe D_{4}). [Ü: Warum ist sie nicht isomorph zu D_{4}? Tipp: Ordnung der Elemente.]

c) Beachte, dass ℂ ein Unterring von Q ist. Aufgrund der Formel des Inversen in ℂ kann man vermuten, dass

α′ = \frac{1}{α_{0}^{2} + α_{1}^{2} + α_{2}^{2} + α_{3}^{2}} (α_{0} − α_{1}i − α_{2}j − α_{3}k)

invers zu α ist. Durch Nachrechnen von α′α = 1_{Q} wird diese Vermutung bestätigt [Ü: Nachrechnen!]. (Es genügt, die linksinverse Eigenschaft nachzuweisen - vgl. frühere Aufgabe: Assoziativgesetz, Linksneutrales, Linksinverses genügen zur Gruppeneigenschaft; dort wurde gezeigt, Links-=Rechtsinverse.)