Zu Korollar 11.15 und Bemerkung 11.11

Die Aussage in Korollar 11.15 ”Damit ist der Satz anwendbar“ ist im allgemeinen leider falsch. Beispiel: ϕ: ℤ → ℤ_{p}. Dann ist ψ(px + 1) = 1, d.h. ein Polynom positiven Grades wird auf eine Einheit abgebildet. Die Voraussetzungen des Satzes sind also insbesondere in dem für uns wichtigen Spezialfall ℤ[x] → ℤ_{p}[x] unerfüllbar.

Für den angesprochenen Spezialfall eignet sich jedoch das folgende Kriterium.

Irreduzibilitätskriterium modulo p. Sei f = f_{0} + f_{1} x + … + f_{k} x^{k} ∈ ℤ[x] \ ℤ ein ganzzahliges Polynom mit positivem Grad, dessen Koeffizienten keinen gemeinsamen Teiler besitzen (d.h. keine Primzahl teile alle Koeffizienten). Sei p eine Primzahl, die den Höchstkoeffizienten f_{k} nicht teilt.

Sei ϕ: ℤ → ℤ_{p} der Ring-Epimorphismus, der jede ganze Zahl auf ihre Restklasse modulo p abbildet. Sei weiter ψ: ℤ[x] → ℤ_{p}[x] , ∑ a_{i} x^{i} ↦ ϕ(a_{i}) x^{i} die Fortsetzung von ϕ auf die Polynomringe.

Ist ψ(f) irreduzibel über ℤ_{p}, so ist f irreduzibel über ℤ.

• Informelle Version: Ist unter den angegebenen Voraussetzungen f irreduzibel über ℤ_{p}, so ist f irreduzibel über ℤ.

• Für monische Polynome sind die Primzahlvoraussetzungen automatisch erfüllt.

Beweis. Sei f = g h in ℤ[x]. Dann gilt auch ψ(f) = ψ(g) ψ(h) in ℤ_{p}[x]. Da nach Voraussetzung ψ(f) irreduzibel über ℤ_{p} ist, muss einer der Faktoren eine Einheit in ℤ_{p}[x] sein. (Die Einheiten in ℤ_{p}[x] sind die vom Nullpolynom verschiedenen konstanten Polynome.) OBdA sei der erste Faktor g eine Einheit in ℤ_{p}[x], also

ψ(g_{m}x^{m} + … + g_{1}x + g_{0}) = ϕ(g_{m})x^{m} + … + ϕ(g_{1})x + ϕ(g_{0}) = ϕ(g_{0}) ≠ 0 .

Damit gilt in ℤ[x] die Darstellung

f_{k}x^{k} + … + f_{1}x + f_{0} = (pg̃_{m}x^{m} + … + pg̃_{1}x + g_{0})(h_{n}x^{n} + … + h_{1}x + h_{0}) .

Die rechte Seite hat den ”Höchstkoeffizienten“ pg_{m}h_{n}, der entweder null ist oder mit dem Höchstkoeffizienten f_{k} der linken Seite übereinstimmen muss. Letzteres ist aufgrund der Voraussetzung ”p teilt nicht f_{k}“ ausgeschlossen. Folglich ist g̃_{m} = 0. Da m beliebig war, folgt g = g_{0} und

f_{k}x^{k} + … + f_{1}x + f_{0} = g_{0}(h_{n}x^{n} + … + h_{1}x + h_{0}) .

Da nach Voraussetzung keine Primzahl alle Koeffizienten von f teilt, kann auch keine Primzahl g_{0} teilen. Somit ist g_{0} = ±1 eine Einheit in ℤ un damit eine Einheit ℤ[x]. Wir haben gezeigt, aus dem Ansatz f = g h in ℤ[x] folgt, dass einer der Faktoren eine Einheit in ℤ[x] ist. Das entspricht der Irreduzibilität.

Beispiel zu Bemerkung 11.11 (b) der Vorlesung: Das ganzzahlige Polynom 4x^{2} − 1 = (2x − 1)(2x + 1) ist reduzibel über ℤ, besitzt aber keine Nullstellen in ℤ.