Aufgabe 12 \underline{Struktur}:

• Universum (Definitonsbereich/ Grundmenge): U = ℝ.

• Abbildung φ, die jedem k–stelligen Funktionssymbol f eine Abbildung φ (f) : U^{k} → U zuordnet:

φ (f) : ℝ → ℝ, φ (f) (x) = \{ \begin{matrix}f (x) & x ∈ ]a, b[ , \\ 0 & sonst. \end{matrix}

φ (a) = a, φ (b) = b, φ (c) = 0  (0–stellige Funktionen = Konstanten)
φ (h) : ℝ → ℝ, φ (h) (x) = |x|  (1–stellige Funktion)
φ (g) : ℝ^{2} → ℝ, φ (g) (x, y) = x − y (2–stellige Funktion)

• Abbildung ψ, die jedem in F vorkommenden k–stelligen Prädikatssymbol P eine Teilmenge ψ (P) ⊆ U^{k} zuordnet: Ψ (P) = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x < y} .

• Abbildung ξ, die jeder in F vorkommenden Variable x ein Element ξ (x) ∈ U zuordnet:

ξ (x) = ξ (y) = ξ (z) = ξ (u) = 0.

\underline{Formel}:

F := ∀z : (P (c, z) ⇒ ∃u : (P (c, u) ∧ ∀x : ∀y : ((P (a, x) ∧ P (x, b) ∧ P (a, y) ∧ P (y, b) ∧ P (h (g (x, y)) , u)) ⇒ P (h (g (f (x) , f (y))) , z)))) . \underline{Terme}:

c, z, u, a, b, x, y, g (x, y) , h (g (x, y)) , f (x) , f (y) , g (f (x) , f (y)) , h (g (f (x) , f (y))) .

\underline{Teilformeln}: unter der Annahme, dass die Teilformel P (a, x) ∧ P (x, b) ∧ P (a, y) ∧ P (y, b) ∧ P (h (g (x, y)) , u) folgendermaßen geklammert ist: (((P (a, x) ∧ P (x, b)) ∧ P (a, y)) ∧ P (y, b)) ∧ P (h (g (x, y)) , u) ∀z : (P (c, z) ⇒ ∃u : (P (c, u) ∧ ∀x : ∀y : ((P (a, x) ∧ P (x, b) ∧ P (a, y) ∧ P (y, b) ∧ P (h (g (x, y)) , u)) ⇒ P (h (g (f (x) , f (y))) , z)))) , P (c, z) ⇒ ∃u : (P (c, u) ∧ ∀x : ∀y : ((P (a, x) ∧ P (x, b) ∧ P (a, y) ∧ P (y, b) ∧ P (h (g (x, y)) , u)) ⇒ P (h (g (f (x) , f (y))) , z))) , P (c, z) , ∃u : (P (c, u) ∧ ∀x : ∀y : ((P (a, x) ∧ P (x, b) ∧ P (a, y) ∧ P (y, b) ∧ P (h (g (x, y)) , u)) ⇒ P (h (g (f (x) , f (y))) , z))) , P (c, u) ∧ ∀x : ∀y : ((P (a, x) ∧ P (x, b) ∧ P (a, y) ∧ P (y, b) ∧ P (h (g (x, y)) , u)) ⇒ P (h (g (f (x) , f (y))) , z)) , P (c, u) ∀x : ∀y : ((P (a, x) ∧ P (x, b) ∧ P (a, y) ∧ P (y, b) ∧ P (h (g (x, y)) , u)) ⇒ P (h (g (f (x) , f (y))) , z)) , ∀y : ((P (a, x) ∧ P (x, b) ∧ P (a, y) ∧ P (y, b) ∧ P (h (g (x, y)) , u)) ⇒ P (h (g (f (x) , f (y))) , z)) , ((P (a, x) ∧ P (x, b) ∧ P (a, y) ∧ P (y, b) ∧ P (h (g (x, y)) , u)) ⇒ P (h (g (f (x) , f (y))) , z)) , (((P (a, x) ∧ P (x, b)) ∧ P (a, y)) ∧ P (y, b)) ∧ P (h (g (x, y)) , u) , P (h (g (f (x) , f (y)) , z)) , ((P (a, x) ∧ P (x, b)) ∧ P (a, y)) ∧ P (y, b) , P (h (g (x, y)) , u) , (P (a, x) ∧ P (x, b)) ∧ P (a, y) , P (y, b) , P (a, x) ∧ P (x, b) , P (a, y) , P (a, x) , P (x, b) .