Die Mathematik des Domino Cube
Diese Seite beschäftigt sich mit dem 2x3x3 Zauberwürfel, dem sogenannten Domino Cube.
Notation
Die Züge am Domino Cube werden mit F, R, L, B, D und U bezeichnet.
U^2 bedeutet, dass der Zug U zwei Mal durchgeführt wird und U^-1 bedeutet, dass der Zug U in die entgegengesetzte Richtung durchgeführt wird. Analog folgt die Bezeichnung für die übrigen Basiszüge.
Die Eckwürfel des Domino Cubes werden durchnummeriert und mit Hilfe der Nummern werden die Züge dargestellt.
Tipps zum Lösen des Domino Cube
Die mittleren Würfel in der oberen und der unteren Reihe geben jeweils die Farbe für die obere bzw. untere Seite an.
Wie kann man die Eckwürfel an die richtige Position bringen? Um die Position des 5. Eckwürfels mit der des 6. Eckwürfels zu tauschen, führe den Zug RFD^-1FDRD^-1FDRD^-1 durch.
Wie kann man die Kantenwürfel an die richtige Position bringen? Um die Position des 13. mit der des 15. Kantenwürfels zu tauschen, führe den Zug (FD^2)^3 durch.
Mathematik kann zum Lösen des Domino Cubes äußerst behilflich sein!
Zulassungsarbeit
Alle Sätze und Details der Zulassungsarbeit können direkt in Kapitel 7 "Domino Cube" ab Seite 93 inklusive aller Beweise nachgelesen werden. Die Zulassungsarbeit können Sie hier downloaden.
Die Mathematik des Domino Cube
Die Permutationen der Kantenwürfel
Nach der Anleitung zum Lösen des Domino Cubes ist bereits bekannt, dass der Zug (FD^2)^3 die Position des 13. Kantenwürfels mit der des 15. Kantenwürfels tauscht.
Falls man nun zwei beliebige Kantenwürfel an die Position des 13. bzw. 15. Kantenwürfels bringt, kann man die Position dieser beiden Würfel tauschen.
Beispiel:
Der Zug RL (FD^2)^3 LR tauscht die Position des 9. Kantenwürfels mit der des 11. Kantenwürfels.
Der Zug LUR (FD^2)^3 RU^-1L tauscht die Position des 10. Kantenwürfels mit der des 11. Kantenwürfels.
Der Zug DUL (FD^2)^3 LU^-1D^-1 tauscht die Position des 12. Kantenwürfels mit der des 16. Kantenwürfels.
Durch Kombination dieser Züge kann man nun die Position von beliebig vielen Kantenwürfeln tauschen.
Beispiel:
Der Zug LUR (FD^2)^3 RU^-1LDUL (FD^2)^3 LU-1D-1 tauscht sowohl die Position des 10. Kantenwürfels mit dem 11. Kantenwürfels, als auch die Position des 12. Kantenwürfels mit dem 16. Kantenwürfel.
Durch den Zug RL (FD^2)^3 LR LUR (FD^2)^3 RU^-1L geht der 9. Kantenwürfel an die Position des 10. Kantenwürfels, dieser an jene des 11. Kantenwürfels, welcher an die Position des 9. Kantenwürfels geht.
Satz:
Es gibt einen Homomorpismus \rho: R_D \rightarrow S_8, welche jedem Zug am Domino Cube die Permutation der Kantenwürfel zuordnet.
Die Permutationen der Eckwürfel
Nach der Anleitung zum Lösen des Domino Cubes ist bereits bekannt, dass der Zug RFD^-1FDRD^-1FDRD^-1 die Position des 6. mit dem 7. Eckwürfel tauscht. Jedoch wird auch die Position von vier der Kantenwürfel getauscht.
Nach obigen Überlegungen kann man jedoch einen Zug konstruieren, welcher diese vier Kantenwürfel wieder an seine ursprüngliche Position bringt.
Insgesamt tauscht man mit dem Zug RFD^-1FDRD^-1FDRD^-1FDRD^2RD^2LBLRFU^-1BFD^-1LRF den 6. mit dem 7. Eckwürfel.
Falls man nun zwei beliebige Eckwürfel an die Position des 6. und des 7. Eckwürfels bringt, kann man die Position dieser beiden Würfel tauschen.
Beispiel:
Der Zug R (RFD^-1FDRD^-1FDRD^-1FDRD^2RD^2LBLRFU^-1BFD^-1LRF) R tauscht die Position des 1. Eckwürfels mit der des 7. Eckwürfels.
Der Zug U^2B (RFD^-1FDRD^-1FDRD^-1FDRD^2RD^2LBLRFU^-1BFD^-1LRF) BU^2 tauscht die Position des 1. Eckwürfels mit der des 4. Eckwürfels.
Durch Kombination dieser Züge kann man nun die Position von beliebig vielen Kantenwürfeln tauschen.
Beispiel:
Der Zug RFD^-1FDRD^-1FDRD^-1FDRD^2RD^2LBLRFU^-1BFD^-1LRFU^2BRFD^-1FDRD^-1FDRD^-1FDRD^2RD^2LBLRFU^-1BFD^1LRFBU^2 tauscht sowohl die Position des 1. Eckwürfels mit dem 4. Eckwürfels, als auch die Position des 6. Eckwürfels mit dem 7. Eckwürfel.
Satz:
Es gibt einen Homomorphismus \sigma: G_D \rightarrow S_8, welcher jedem Zug am Domino Cube die Permutation der Eckwürfel zuordnet.
Eine Mathematische Beschreibung der Züge des Domino Cube
Kombiniert man nun die Züge aus obigen Überlegungen, so kann man die Eckwürfel und Kantenwürfel beliebig vertauschen.
Beispiel:
Der Zug RFD^-1FDRD^-1FDRD^-1FDRD^2RD^2LBLRFU^-1BFD^-1LRF(FD^2)^3 tauscht die Position des 6. und des 7. Eckwürfels, sowie des 13. und 15. Kantenwürfels.
Satz:
Es gibt einen Homomorphismus \iota: G_D \rightarrow S_8 \times S_8, welche jedem Zug die Permutation der Eckwürfel und die Permutation der Kantenwürfel zuordnet.
Da der Domino Cube 8 Eckwürfel besitzt und die Positionen der Eckwürfel beliebig getauscht werden können, gibt es offensichtlich dann insgesamt 8! verschiedene Möglichkeiten, um die Position der Eckwürfel zu tauschen und somit 8! verschiedene Züge am Domino Cube um die Eckwürfel zu permutieren.
Da der Domino Cube 8 Kantenwürfel besitzt und die Position der Kantenwürfel beliebig getauschtwerden können, gibt es offensichtlich dann ingesamt 8! verschiedene Möglichkeiten um die Position der Kantenwürfel zu tauschen und somit 8! verschiedne Züge am Domino Cube um die Kantenwürfel zu permutieren.
Da die Züge, welche nur die Kantenwürfel permutieren unabhängig sind von jenen, welche nur die Eckwürfel permutieren, gibt es somit insgesmt 8! * 8! verschiedene Züge am Domino Cube um die Eckwürfel und die Kantenwürfel zu permutieren.
Satz:
Der Homomorphismus \iota: G_D \rightarrow S_8 \times S_8 ist ein Isomorphismus.
Die Anzahl der Züge und endliche Präsentation des Domino Cube
Um die genaue Anzahl der verschiedenen Züge am Domino Cube zu bekommen, muss man jedoch auch die Orientierung des gesamten Domino Cubes beachten.
In der Anleitung zum Lösen des Domino Cubes wurde zu Beginn bereits erwähnt, dass die mittleren Würfel in der oberen und der unteren Reihe jeweils die Farbe dieser Flächen angeben, sodass der Würfel vier mal gedreht werden kann.
Satz
Es gibt (8! * 8!) / 4 = 406.425.600 verschiedene Züge am Domino Cube.
Satz:
Es gilt G_B = < a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l , m, n | a^2 = b^2 = c^2 = d^2 = e^2 = f^2 = g^2 = 1; aba = bab; bcb = cbc; cdc = dcd; ded = ede; efe = fef; fgf = gfg; aca = cac; ada = dad; aea = eae; afa = faf; aga = gag; bdb = dbd; beb = ebe; bfb = fbf; bgb = gbg; cec = ece; cfc = fcf; cgc = gcg; dfd = fdf; dgd = gdg; ege = geg; h^2 = i^2 = j^2 = k^2 = l^2 = m^2 = n^2 = 1; hih = ihi; hjh = jhj; hkh = khk; hlh = lhl; hmh = mhm; hnh = nhn; iji = jij; iki = kik; ili = lil; imi = mim; ini = nin;jkj = kjk; jlj = ljl; jmj = mjm; jnj = njn; klk = lkl; kmk = mkm; knk = nkn; lml = mlm; lnl = nln; ah = ha; ai = ia; aj = ja; ak = ka; al = la; am = ma; an = na; bh = hb; bi = ib; bj = jb; bk = kb; bl = lb; bm = mb; bn = nb; ch = hc; ci = ic; cj = jc; ck = kc; cl = lc; cm = mc; cn = nc; dh = hd; di = id; dj = jd; dk = kd; dl = ld; dm = md; dn = nd; eh = he; ei = ie; ej = je; ek = ke; el = le; em = me; en = ne; fh = hf; fi = if; fj = jf; fk = kf; fl = lf; fm = mf; fn = nf; gh = hg; gi = ig; gj = jg; gk = kg; gl = lg; gm = mg; gn = ng; abchijdeddfddgdklkkmkknk = 1 >.