Die Mathematik des Mini Cube
Diese Seite beschäftigt sich mit dem 1x2x2 Zauberwürfel, dem sogenannten Mini Cube (oder Baby Cube).
Notation
Die Züge am Mini Cube werden mit F, R, L und B (wie in den Skizzen) bezeichnet.
F^2 bedeutet, dass der Zug F zwei Mal durchgeführt wird und F^-1 bedeutet, dass der Zug F in die entgegengesetzte Richtung durchgeführt wird. Analog folgt die Bezeichnung für die übrigen Basiszüge.
Die Eckwürfel des Mini Cubes werden durchnummeriert und mit Hilfe der Nummern werden die Züge dargestellt.
Tipps zum Lösen des Mini Cubes
Man wählt sich einen der vier Eckürfel etwa den 1. Eckwürfel als Fixpunkt. Nun kann man durch die Züge F und L die drei übrigen Eckwürfel an ihre richtige Position bringen.
Zulassungsarbeit
Alle Sätze und Details der Zulassungsarbeit können direkt in Kapitel 4 "Baby Cube" ab Seite 18 inklusive aller Beweise nachgelesen werden. Die Zulassungsarbeit können Sie hier downloaden.
Die Mathematik des Mini Cube
Eine Mathematische Darstellung der Züge des Mini Cube
Die verschiedenen Züge, die in der Anleitung zur Lösung vorgekommen sind, werden nun genauer betrachtet und mathematisch mithilfe der Zykelschreibweise dargestellt.
1 .Zug:
Betrachtet man den Zug R, so wird die Position des Würfels mit der Nummer 1 mit der Position des Würfels mit der Nummer 2 getauscht.
Kurz gesprochen: 1 geht auf 2 und 2 geht auf 1; bzw. in Zykelschreibweise: (1 2)
2. Zug:
Betrachtet man den Zug BR, so wird der Würfel mit der Nummer 1 auf die Position des Würfels mit der Nummer 3 gebracht und der Würfel mit der Nummer 3 an die Stelle des Würfels mit der Nummer 2, wobei dieser wieder an die Stelle des Würfels mit der Nummer 1 kommt.
Kurz gesprochen: 1 geht auf 3, 3 geht auf 2 und 2 geht auf 1; bzw. in Zykelschreibweise: (1 3 2)
3. Zug:
Betrachtet man den Zug B, so wird die Position des Würfels mit der Nummer 2 mit der Position des Würfels mit der Nummer 3 getauscht.
Kurz gesprochen: 2 geht auf 3 und 3 geht auf 2; bzw. in Zykelschreibweise: (2 3)
Jetzt zu weiteren bis jetzt unbekannten Zügen:
4. Zug:
Führt man den Zug BR, in der umgekehrten Richtung durch, so ergibt sich der Zug RB. Der Würfel mit der Nummer 1 nimmt die Position des Würfels mit der Nummer 2 ein, dieser die Position des Würfels mit der Nummer 3 und dieser wiederum kommt an den Platz von Würfel Nummer 3.
Kurz gesprochen: 1 geht auf 2, 2 geht auf 3 und 3 geht auf 1; bzw. in Zykelschreibweise: (1 2 3)
5. Zug:
Kombiniert man nun den 1. Zug R mit dem 2. Zug BR, so ergibt sich der Zug RBR. Es wird die Position des Würfels mit der Nummer 1 mit der Position des Würfels mit der Nummer 3 getauscht.
Kurz gesprochen: 1 geht auf 3 und 3 geht auf 1; bzw. in Zykelschreibweise: (1 3)
Kombiniert man jetzt etwa den 3. Zug B mit dem 4. Zug RB, so kann man sich davon überzeugen, dass man den 5. Zug erhält. Ebenso erhält man den 4. Zug, falls man den 2. Zug zwei mal ausführt. Es gibt bisher also fünf verschiedene Züge am Mini Cube, nämlich (1 2), (1 3 2), (1 2 3), (2 3) und (1 3).
Gibt es noch weitere Züge am Mini Cube? NEIN!
Ursache: Bei den Tipps zum Lösen des Mini Cubes wurde bereits erwähnt, dass man einen der vier Würfel als Fixpunkt wählen darf. Sei dies nun der 4. Würfel, welcher seine Position nicht verändert.
Es gibt keine weitere Möglichkeit, die drei Würfel 1, 2, 3 zu tauschen bzw. zu permutieren - mit Ausnahme des Zuges, der jeden der drei Würfel an seiner Position belässt! Dieser Zug wird im Weiteren in Zykelschreibweise als id bezeichnet.
Die Gruppe aller Züge des Mini Cube
Im Folgenden wird diese Menge der sechs verschiedenen Züge am Mini Cube in Bezug auf mathematische Eigenschaften untersucht:
Wir haben bereits gesehen, dass jeweils die Kombination von zwei der sechs Züge wieder einen dieser sechs Züge ergibt und es keine weiteren Züge mehr gibt.
Der Zug id, der keinen der drei Würfel an eine andere Position verschiebt, kann mit jedem der übrigen fünf Züge kombiniert werden, ohne dass er einen Effekt erzielt.
Durch Probieren erkennt man, dass die Gleichung R(BR) = (RB)R gilt
Wie man sich selbst leicht davon überzeugen kann, gibt es zu jedem der sechs Züge einen Zug am Mini Cube, sodass der Mini Cube dann gelöst ist.
Diese vier Eigenschaften machen die Menge der verschiedenen Züge des Mini Cubes zu einer Gruppe.
Eine Endliche Präsentation des Mini Cube
Die Gruppe der sechs Züge des Mini Cubes kann in folgender Form in Zykelschreibweise dargestellt werden:
G_M = { (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2), id }
Diese Gruppe heißt die symmetrische Gruppe S_3 und besitzt 3! = 3*2 = 6 Elemente.
Satz:
Es gilt G_M = < R, BR | R^2 = BR^3 = id; RBR = BRR > = S_3.