Computeralgebra und Robotik
Die Aufgabe war, anhand von relativ
einfachen Beispielen die grundlegenden Probleme der Robotik zu vermitteln
und auch Lösungswege und weiterführende Ideen aufzuzeigen.
Um den zeitlichen Rahmen nicht zu sprengen wurden hierbei über die
verwendeten Robotern einige vereinfachende Annahmen getroffen:
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Die Roboter bestehen nur aus starren Segmenten und Gelenken
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Ein Ende des Roboters ist fest an der Unterlage fixiert
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Am anderen Ende des Roboters befindet sich eine techn. Vorrichtung um gewisse
Aufgaben zu erfüllen (im folgenden immer als 'Hand' bezeichnet)
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Die Semgente sind alle in einer Reihe angeordent (ähnlich einem menschlichen
Arm)
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Alle Segmente des Roboters befinden sich in einer Ebene und verlassen diese
während allen Bewegungen nicht
Die beschriebenen Probleme werden nun in Form einer Abbildung f beschrieben,
die jeder Kombination der Winkel zwischen den einzelnen Segmenten, die
durch den Einheitskreis parametriesiert werden, bzw. der Länge der
einzelnen Segmente, parametrisiert durch ein Intervall, die (eindeutig
bestimmte) Position und Orientierung der Hand zuordnet. Die auftretenden
Probleme werden jetzt durch die Funktion f beschrieben.
Trotz dieser doch relativ starken Annahmen können anhand dieser
Klasse die zwei wichtigsten Probleme (Forward Kinematic Problem und Inverse
Kinematic Problem) vorgestellt und auch an einem einfachen Beispiel gelöst
werden.
Das Forward Kinematic Problem (FKP)
Bei diesem Problem geht es darum die Position und Orientierung der Hand
in Abhängigkeit der Parameterwerte zu bestimmen, also für die
Funktion f eine explizite Beschreibung zu finden. Diese wird bei obigem
Roboter sogar von polynomialer Gestalt sein.
Das Inverse Kinematic Problem (IKP)
Ziel ist es nun den Bildbereich der Abbildung f und für einen Punkt
daraus die Faser zu bestimmen. Man will also wissen, welche Punkte im 'Arbeitsbereich'
des Roboters zu erreichen sind und welche Parametereinstellungen dazu benötigt
werden. Dazu verwendet man die in der Lösung des FKP gefundene Darstellung
der Funktion f. Aus dieser Darstellung gewinnt man ein Gleichungssystem,
dass man mit Hilfe der Theorie der Gröbner-Basen löst. Es können
hier im Allgemeinen nicht Techniken der linearen Algebra verwendet werden,
da die auftretenden polynomialen Gleichung nicht unbedingt linear sein
müssen. Die Bedingungen für die Variablen, die die Länge
der einzelnen Segmente repräsentieren und für die Position der
Hand geben dabei die geometrischen Beschränkungen und Besonderheiten
des Roboters an.
Abschliessend wurde noch ein Einblick in die Theorie der Bewegungsplanung
eines Roboters gegeben. Es handelt sich hierbei um folgende Situation:
Man hat eine Weg, den die Hand zurücklegen muss und man versucht nun
zu diesem Weg eine Abfolge von Parameterwerten zu finden, die diese Bewegung
der Hand ermöglichen. An diese Paramterabfolge kann man evtl. noch
einige Bedingungen, wie minimale Anzahl an Parameteränderungen o.
ä. stellen.