PD. Dr. Martin Kreuzer WS 2001/2002 Fakultät für Mathematik Universität Regensburg

Übungen zur Vorlesung “Computeralgebra für Naturwissenschaftler”

Tutorium 1: Termordnungen

Das Ziel dieses Tutoriums ist es, einen Einblick zu erhalten, welche Termordnungen es auf 𝕋^{n} mit n ≤ 3 gibt.

a) Zeigen Sie, dass es auf 𝕋^{1} nur eine Termordnung gibt, nämlich deg .

b) Eine Termordnung σ heiße gradkompatibel, wenn aus deg(t) > deg(t′) für Terme t, t′ ∈ 𝕋^{n} schon t >_{σ} t′ folgt. Beweisen Sie, dass es auf 𝕋^{2} genau zwei gradkompatible Termordnungen σ, τ gibt, die durch x >_{σ} y bzw. y >_{τ} x charakterisiert sind.

c) Klassifizieren Sie alle auf 𝕋^{2} möglichen Termordnungen σ nach dem folgenden Schema. O.E. kann man x >_{σ} y annehmen.

1) Zeigen Sie, dass es genau eine Termordnung σ auf 𝕋^{2} gibt mit x >_{σ} y^{i} für alle i ≥ 2.

2) Angenommen, eine Termordnung σ auf 𝕋^{2} erfüllt x <_{σ} y^{N} für ein N ≥ 2, und es sei q = inf\{\frac{j}{i} ∈ ℚ_{+} | x^{i} <_{σ} y^{j}\}. Beweisen Sie 1 ≤ q ≤ N.

3) Gilt q ∈ ℝ \ ℚ, so gibt es genau eine Termordnung mit diesen Eigenschaften und sie ist gegeben durch x^{i_{1}}y^{i_{2}} ≥_{σ} x^{j_{1}}y^{j_{2}} genau dann, wenn i_{1}q+i_{2} ≥ j_{1}q+j_{2}.

4) Gilt q ∈ ℚ \ {1}, so gibt es genau zwei Termordnungen mit diesen Eigenschaften. Geben Sie Matrizen an, durch die sie definiert werden.

5) Ist schließlich q = 1, so gibt es genau eine Termordnung mit diesen Eigen-

schaften. Geben Sie ihre Matrix an.

d) Für alle Terme vom Grad 2 in 𝕋^{3}, finden Sie alle möglichen Anordnungen unter gradkompatiblen Termordnungen. Sie können o.E. x >_{σ} y >_{σ} z annehmen.

e) Lösen Sie dieselbe Aufgabe für alle Terme vom Grad ≤ 3 in 𝕋^{3}.

f) Beweisen Sie, dass es unendlich viele paarweise verschiedene gradkompatible Termordnungen auf 𝕋^{3} gibt.

g) Schreiben Sie ein CoCoA-Programm TermOrderList(…), das zwei Zahlen i, d > 0 nimmt, eine 3 × 3-Matrix V_{i} berechnet so dass die Termordnungen Ord(V_{i}) auf 𝕋^{3} paarweise verschieden sind, und die Liste der Terme vom Grad ≤ d gemäß Ord(V_{i}) geordnet ausgibt.