PD. Dr. Martin Kreuzer WS 2001/2002 Fakultät für Mathematik Universität Regensburg

Übungen zur Vorlesung “Computeralgebra für Naturwissenschaftler”

Tutorium 2: Monomiale Ideale

In diesem Tutorium wollen wir die wichtigsten idealtheoretischen Operationen für den Fall monomialer Ideale studieren und implementieren. Dazu sei K ein Körper und P = K[x_{1}, …, x_{n}].

a) Zeigen Sie, dass ein Ideal I ⊆ P genau dann ein monomiales Ideal ist, wenn für jedes Polynom f ∈ I und jeden Term t ∈ Supp (f) gilt, dass t ∈ I erfüllt ist.

b) Schreiben Sie eine CoCoA-Funktion IsMonomial(…), die für ein gegebenes Ideal nachprüft, ob es monomial ist und den entsprechenden Boolschen Wert ausgibt. (Verwenden Sie die eingebaute CoCoA-Funktion IsIn.)

Seien nun f_{1}, …, f_{s} ∈ P und g_{1}, …, g_{t} ∈ P zwei Mengen von Termen, die monomiale Ideale I = (f_{1}, …, f_{s}) und J = (g_{1}, …, g_{t}) erzeugen.

c) Beweisen Sie, dass I + J = {a + b | a ∈ I, b ∈ J} ein monomiales Ideal von P ist. Schreiben Sie eine CoCoA-Funktion MonomialSum(…), die ein monomiales Erzeugendensystem von I + J berechnet.

d) Beweisen Sie, dass I · J = {a_{1}b_{1} + ⋯ + a_{r}b_{r} | a_{1}, …, a_{r} ∈ I, b_{1}, …, b_{r} ∈ J} ein monomiales Ideal von P ist. Schreiben Sie eine CoCoA-Funktion MonomialProd(…), die ein monomiales Erzeugendensystem von I · J berechnet.

e) Beweisen Sie, dass I ∩ J ein monomiales Ideal von P ist. Schreiben Sie eine CoCoA-Funktion MonomialIntersection(…), die ein monomiales Erzeugendensystem von I ∩ J berechnet.

f) Beweisen Sie, dass I :_{P} J = {a ∈ P | a · b ∈ I für alle b ∈ J} ein monomiales Ideal von P ist. Schreiben Sie eine CoCoA-Funktion MonomialColon(…), die ein monomiales Erzeugendensystem von I :_{P} J berechnet.

g) Sei 1 ≤ m < n. Beweisen Sie, dass I ∩ K[x_{1}, …, x_{m}] ein monomiales Ideal von K[x_{1}, …, x_{m}] ist. Schreiben Sie eine CoCoA-Funktion MonomialElim(…), die ein monomiales Erzeugendensystem von I ∩ K[x_{1}, …, x_{m}] berechnet.