Prof. Dr. M. Kreuzer Abgabetermin: 29.11.2002, 9.00 Uhr

Lineare Algebra I

Übungsblatt 6

Aufgabe 1 (P): (Automorphismus = die Verwandlung eines Käfers in einen Jaguar) Beweisen Sie Aut(𝔽_{p}) = {id} für eine Primzahl p.

Aufgabe 2 (P): (Der Student muss es wissen. Der Assistent muss wissen, wo es steht. Der Professor muss wissen, wo der Assistent ist.) Sei R ein kommutativer Integritätsring mit Einselement. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Rechenregeln für Polynome f, g ∈ R[x] \ {0}.

a) deg(f + g) = max{deg(f), deg(g)}

b) LT(f · g) = LT(f)· LT(g)

c) LT(f + g) = LT(f)+ LT(g)

d) LC(f · g) = LC(f)· LC(g)

Aufgabe 3 (D+L): (Teile und herrsche!) Sei n ∈ ℕ_{+}. Bestimmen sie das Ergebnis der Polynomdivision von x^{n} + 1 durch x + 1. (Tipp: Unterscheiden Sie, ob n gerade oder ungerade ist.)

Aufgabe 4 (D+L): (Man kann alles einführen... es ist nur fraglich, ob es sinnvoll ist.) Auf der Menge ℝ^{2} führen wir die folgenden beiden Abbildungen ein:

\begin{matrix}+ : ℝ^{2} × ℝ^{2} → ℝ^{2} & sowie & · : ℝ × ℝ^{2} → ℝ^{2} \\ ((a, b), (c, d)) ↦ (a + c, b + d) & & (a, (b, c)) ↦ (ab, ac) \end{matrix}

a) Untersuchen Sie, ob die Mengen A = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | 3x + 6y = 0} und B = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | 2x − y = 4} bzgl. der Operation + Gruppen sind.

b) Prüfen Sie, ob A und B bzgl. der Operation · abgeschlossen sind, d.h. ob für a ∈ ℝ und (c, d) ∈ A (bzw. B) gilt, dass auch a · (c, d) ∈ A (bzw. B) gilt.

c) Identifizieren Sie ℝ^{2} mit der Zeichenebene und beschreiben Sie die den Mengen A und B entsprechenden Punktmengen.

Aufgabe 5 (∗): (Computer sind nicht intelligent. Sie denken nur, sie seien es.) Gegeben seien Polynome f, g ∈ ℚ[x] mit deg(f) ≥ 1 und deg(g) ≥ 1.

a) Mit welchen Maple-Befehlen kann man die Polynome g und r in der Darstellung f = q · g + r gemäß Satz (6.10) finden? Schreiben Sie eine kurze Maple-Funktion PolyDivision (f, g), die das Paar (q, r) berechnet.

b) Schreiben Sie ein Maple-Programm PolyEuklid (f, g), das den größten gemeinsamen Teiler von f und g mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus berechnet. Wenden Sie Ihr Programm an selbstgewählten Beispielen an, um seine Korrektheit in verschiedenen Situationen zu beweisen.