Prof. Dr. M. Kreuzer Abgabetermin: Freitag, 25.04.2003, 9.00 Uhr

Lineare Algebra I

Übungsblatt 15

Aufgabe 1 (⋆): (Kleiner Fundamentalsatz der Esoterik: Die Transformation des Duals ist die Inverse der Transposition.) Sei K ein Körper, V ein endlich–dimensionaler K–Vektorraum, und seien V, W zwei Basen von V. Zeigen Sie:

T{V^{⋆} \atop W^{⋆}} = ((T V W)^{tr})^{−1}

Aufgabe 2 (⋆): (Klein φ macht auch Mist!) Sei K ein Körper, sei V ein K–Vektorraum, und sei U ⊆ V ein K– Untervektorraum. Finden Sie mit Hilfe der universellen Eigenschaft des Restklassenvektorraums einen Isomorphismus

φ : Ann_{V^{⋆}}(U) → (V/U)^{⋆}.

Aufgabe 3 (⋆): (Ein paradoxer Vektorraum!) Sei K ein Körper und sei V = K^{(ℕ)} der K–Vektorraum der endlichen Folgen von Elementen aus K (vgl. Beispiel 7.8).

a) Zeigen Sie, dass die Elemente e_{i} = (0, …, 0, 1_{i–te Stelle^{↑}}, 0, 0, …) mit i ≥ 1

eine K–Basis von V bilden.

b) Beweisen Sie, dass für jedes i ≥ 1 der Untervektorraum U_{i} = ⟨e_{i}, e_{i+1}, …⟩ von V isomorph zu V ist.

c) Sei U ⊆ V ein endlich–dimensionaler Untervektorraum. Beweisen Sie, dass V/U isomorph zu V ist.

Aufgabe 4 (⋆): (Emmy Noether forever!) Sei K ein Körper, V ein K–Vektorraum, und seien U, W ⊆ V zwei Untervektorräume mit U ⊆ W ⊆ V.

a) Zeigen Sie, dass man W/U in natürlicher Weise als Untervektorraum von V/U betrachten kann, d. h. finden Sie eine kanonische injektive K–lineare Abbildung.

b) Konstruieren Sie einen Isomorphismus von K–Vektorräumen

(V/U) / (W/U) ⟶^{∼} V/W.

Dieses Resultat heißt der 1. Noethersche Isomorphiesatz.

Aufgabe 5 (⋆): (Beweis durch Delegation …) Sei K ein Körper und seien V, W zwei K–Vektorräume. Zeigen Sie, dass die Abbildung Φ : Hom_{K}(V, W) → Hom_{K}(W^{⋆}, V^{⋆}) mit Φ(f) = f^{⋆} ein Isomorphismus von K–Vektorräumen ist.

Aufgabe 6 (⋆): (Annihilistische Rechenregeln) Sei K ein Körper, seien V, W zwei K–Vektorräume, seien U, U′ zwei K– Untervektorräume von V, und sei W′ ein Untervektorraum von W.

a) Für jede K–lineare Abbildung f : V → W gilt f^{⋆}(Ann_{W^{⋆}}(W′)) = Ann_{V^{⋆}}(f^{−1}(W′)).

b) Es gilt Ann_{V^{⋆}}(U + U′) = Ann_{V^{⋆}}(U)∩ Ann_{V^{⋆}}(U′).

c) Es gilt Ann_{V^{⋆}}(U ∩ U′) = Ann_{V^{⋆}}(U)+ Ann_{V^{⋆}}(U′).

Aufgabe 7 (⋆): (Großer Fundamentalsatz der Esoterik: Das Dual der Komposition mit dem Inversen ist die Komposition des Duals mit dem Dual der Inversen — die Identität.) Sei K ein Körper, seien V, W, U drei K–Vektorräume, und seien f : V → W sowie g : W → U zwei K–lineare Abbildungen.

a) Es gilt (g ∘ f)^{⋆} = f^{⋆} ∘ g^{⋆}.

b) Es gilt (id_{V})^{⋆} = id_{V^{⋆}}.

c) Ist f invertierbar, so gilt (f^{−1})^{⋆} = (f^{⋆})^{−1}.

Aufgabe 8 (⋆): (Die Dualität von Yin und Jang) Sei K ein Körper, seien V, W zwei K–Vektorräume, und sei f : V → W eine K–lineare Abbildung.

a) Genau dann ist f injektiv, wenn f^{⋆} surjektiv ist.

b) Genau dann ist f surjektiv, wenn f^{⋆} injektiv ist.

Aufgabe 9 (⋆): (Das Fünferlemma) Sei K ein Körper, seien V_{1}, …, V_{5}, W_{1}, …, W_{5} K–Vektorräume und sei

V_{1} → V_{2} → V_{3} → V_{4} → V_{5}
↓f_{1} ↓f_{2} ↓f_{3} ↓f_{4} ↓f_{5}
W_{1} → W_{2} → W_{3} → W_{4} → W_{5}

ein kommutatives Diagramm von K–linearen Abbildungen mit exakten Zeilen.

a) Sind f_{2}, f_{4} injektiv und ist f_{1} surjektiv, so ist f_{3} injektiv.

b) Sind f_{2}, f_{4} surjektiv und ist f_{5} injektiv, so ist f_{3} surjektiv.

c) Sind f_{1}, f_{2}, f_{4}, f_{5} bijektiv, so ist auch f_{3} bijektiv.

Aufgabe 10 (⋆): (Die Eulersche Gleichung) Sei K ein Körper und sei

0 ⟶^{f_{0}} V_{0} ⟶^{f_{1}} V_{1} ⟶ ⋯ ⟶^{f_{n}} V_{n} ⟶^{f_{n+1}} 0

ein Komplex endlich–dimensionaler K–Vektorräume. Für i = 0, …, n sei H_{i} = Kern(f_{i+1})/Bild(f_{i}) die i–te Homologie des Komplexes. Beweisen Sie die Formel

∑_{i=0}^{n}(−1)^{i} dim_{K}(V_{i}) = ∑_{i=0}^{n}(−1)^{i} dim_{K}(H_{i}).