Die Mathematik des Rubik's Cube
Diese Seite beschäftigt sich mit dem 3x3x3 Zauberwürfel, dem sogenannten Rubik's Cube.
(javascript-Applet ist lizensiert unter CC-3.0 und erstellt von W.Randelshofer)
Notation
Die Züge am Rubik´s Cube werden mit U, D, L, R, B und F bezeichnet.
U^2 bedeutet, dass der Zug U zwei Mal durchgeführt wird und U^-1 bedeutet, dass der Zug U in die entgegengesetzte Richtung durchgeführt wird. Analog folgt die Bezeichnung für die übrigen Basiszüge.
Die Eckwürfel des Rubik Cubes werden durchnummeriert und mit Hilfe der Nummern werden die Züge dargestellt.
Tipps zum Lösen des Rubik's Cube
Wie kann man die Kantenwürfel an die richtige Position bringen? Um die Position des 9. Kantenwürfels mit der des 11. Kantenwürfels und der des 12. Kantenwürfels zu tauschen, führe den Zug R^2URUR^-1U^-1R^-1U^-1R^-1U^R-1 durch.
Wie kann man die Eckwürfel an die richtige Position bringen? Um die Position des 3. Eckwürfels mit der des 4. Eckwürfels und der des 5. Eckwürfels zu tauschen, führe den Zug F^-1D^2FUF^-1D^2FU^-1 durch.
Um die Position des 1. und des 3. Eckwürfels tauscht und die Position des 11. und des 12. Kantenwürfels zu tauschen, führe den Zug UFRUR^-1U^-1F^-1LFR^-1F^-1L^-1U^2RURU^-1R^2U^2R(B^2R^-1D^2RB^-1U^2BR^-1D^2RB^-1U^2B^3)^2 durch.
Wie kann man die Kantenwürfel richtig kippen? Um den 9. Kantenwürfel und den 12. Kantenwürfel zu kippen, führe den Zug LFR^-1F^-1L^-1U^2RURU^-1R^2U^2R durch.
Wie kann man die Eckwürfel richtig drehen? Um den 4. Eckwürfel im Uhrzeigersinn zu drehen und den 6. Eckwürfel gegen den Uhrzeigersinn zu drehen, führe den Zug R^-1D^2RB^-1U^2BR^-1D^2RB^-1U^2B durch.
Zulassungsarbeit
Alle Sätze und Details der Zulassungsarbeit können direkt in Kapitel 8 "Rubik's Cube" ab Seite 113 inklusive aller Beweise nachgelesen werden. Die Zulassungsarbeit können Sie hier downloaden.
Mathematik kann zum Lösen des Domino Cubes äußerst behilflich sein!
Die Mathematik des Rubik's Cube
Orientierung der Eckwürfel
Bereits in den Tipps zum Lösen des Rubik's Cube kommt der Zug R^-1D^2RB^-1U^2BR^-1D^2RB^-1U^2B vor, welcher den 4. Eckwürfel im Uhrzeigersinn zu drehen und den 6. Eckwürfel gegen den Uhrzeigersinn dreht.
Indem man nun jeden anderen beliebigen Eckwürfel an die Position des 4. oder des 6. Eckwürfels bringt, kann man nun auch diesen drehen.
Beispiel:
Der Zug U^-1 (R^-1D^2RB^-1U^2BR^-1D^2RB^-1U^2B) U dreht den 1. und den 6. Eckwürfel.
Der Zug U-^1L (R^-1D^2RB^-1U^2BR^-1D^2RB^-1U^2B) L^-1U dreht den 1. und den 2. Eckwürfel.
Der Zug L^2 (R^-1D^2RB^-1U^2BR^-1D^2RB^-1U^2B) L^2 dreht den 3. und 4. Eckwürfel.
Der Zug U^-1 (R^-1D^2RB^-1U^2BR^-1D^2RB^-1U^2B) UU^-1L (R^-1D^2RB^-1U^2BR^-1D^2RB^-1U^2B) L^-1U dreht den 1. , 2. und 6. Eckwürfel.
Der Zug (R^-1D^2RB^-1U2BR^-1D2RB^-1U^2B) L^2 (R^-1D^2RB^-1U2BR^-1D2RB^-1U^2B) L^2 dreht den 3., 4. und 6. Eckwürfel.
Offensichtlich kann man jeweils einen Eckwürfel im Uhrzeigersinn und einen Eckwürfel gegen den Uhrzeigersinn drehen oder drei Eckwürfel in dieselbe Richtung drehen.
Satz:
Es gibt einen Homomorphismus \sigma: G_R \rightarrow C_3^8, welcher jedem Zug die Orientierung der Eckwürfel zuordnet.
Beispiel:
\sigma(R^-1D^-1RF^-1DR^-1DRD^2F^2) = (0, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 0)
Permutationen der Eckwürfel
Der Zug F^-1D^2FUF^-1D^2F vertauscht die Position des 3., des 4. und des 5. Eckwürfels. Indem man jeden beliebigen anderen an diese Positionen bringt, kann man jeweils die Position von drei Eckwürfel tauschen.
Satz:
Es gibt einen Homomorphismus \rho: G_R \rightarrow S_8, welcher jeden Zug die Permutation der Eckwürfel zuordnet.
Beispiel:
\rho(F^-1D^2FUF^-1D^2F) = (3 4 5)
Orientierung der Kantenwürfel
Nach den Tipps zum Lösen des Rubik's Cubes kippt der Zug LFR^-1F^-1L^-1U^2RURU^-1R^2U^2R den 9. und den 12.Kantenwürfel.
Indem man zwei beliebige Kantenwürfel an diese Position bringt, kann man jeweils zwei beliebige Kantenwürfel kippen.
Beispiele:
Der Zug U^-1 (LFR^-1F^-1L^-1U^2RURU^-1R^2U^2R) U kippt den 11. und den 12. Kantenwürfel.
Der Zug F (LFR^-1F^-1L^-1U^2RURU^-1R^2U^2R) F^-1 kippt den 9. und den 16. Kantenwürfel.
Der Zug R^2 (LFR^-1F^-1L^-1U^2RURU^-1R^2U^2R) R^2 kippt den 12. und den 17. Kantenwürfel.
Der Zug U^-1 (LFR^-1F^-1L^-1U^2RURU^-1R^2U^2R) UR^2 (LFR^-1F^-1L^-1U^2RURU^-1R^2U^2R) R^2 kippt den 11. und den 17. Kantenwürfel.
Satz:
Es gibt einen Homomorphismus \sigma: G_R \rightarrow C_2^12, welcher jedem Zug die Orientierung der Eckwürfel zuordnet.
Beispiel:
\sigma(LFR^-1F^-1L^-1U^2RURU^-1R^2U^2R) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1)
Permutationen der Kantenwürfel
Der Zug R^2URUR^-1U^-1R^-1U^-1R^-1UR^-1 vertauscht die Position des 9., 11. und 12. Kantenwürfels.
Indem man nun drei weitere beliebige Kantenwürfel an diese Position bringt, kann man auch die Position dieser drei miteinander tauschen.
Satz:
Es gibt einen Homomorphismus \rho: G_R \rightarrow S_8, welcher jeden Zug die Permutation der Eckwürfel zuordnet.
Beispiel:
\rho(R^2URUR^-1U^-1R^-1U^-1R^-1UR^-1) = (9 11 12)
Eine Mathematische Beschreibung der Züge des Rubik's Cube
Da die Basiszüge F, B, R, L, U, D mit einer geraden Permutation beschrieben werden und jeder Zug am Rubik's Cube aus Basiszügen besteht, wird jeder Zug durch eine gerade Permutation beschrieben und daraus ergibt sich folgender Satz:
Satz
Es gibt keinen Zug am Rubik´s Cube, welcher
a.) nur die Position von zwei Kantenwürfel tauscht.
b.) nur die Position von zwei Eckwürfel tauscht.
c.) nur einen Kantenwürfel kippt.
d.) nur einen Eckwürfel dreht.
Die Anzahl der möglichen Züge des Rubik's Cube
Aus obigen Überlegungen folgt indem man diese Aussagen mathematisch beschreibt folgender Satz:
Satz:
Es gibt für v \in S_8, w \in S_12, x \in C_2^12 und y \in C_3^8 einen Zug am Rubik's Cube, wenn folgende drei Bedinungen erfüllt sind:
a.) sgn(v) = sgn(w)
b.) x_1 + \ldots + x_12 = 0 (mod 2)
c.) y_1 + \ldots + y_8 = 0 (mod 3)
Daraus lässt sich leicht die Anzahl der verschiedenen Züge am Rubik's Cube folgern.
Satz:
Es gibt 8! * 3^8 * 12! * 2^12 / 3 / 2 / 2 = 43.252.003.274.489.856.000 ~ 4,3 * 10^19 verschiedene Züge am Rubik´s Cube.
Die von David Singmaster bereits vor 30 Jahren gestellte Frage nach einer endlichen Präsentation der Gruppe aller Züge des Rubik's Cube ist bis heute nicht beantwortet.