Seminar "Praktische Anwendungen der Computeralgebra"

Seminarleitung: Dr. Martin Kreuzer, Zi. M 003, Tel. 943 -3036

Anmeldung per E-Mail: <Martin Kreuzer@mathematik.uni-regensburg.de>

Vorbesprechung:   Do, 26.2.98  um 16 Uhr c.t. im Raum M 003

Nr. im Vorlesungsverzeichnus:  51079

Inhalt:  Die Vorträge behandeln Anwendungen der Computeralgebra in den Naturwissenschaften und der Technik. Neben einer elementaren Einführung sollen jeweils Lösungsansätze mittels CoCoA programmiert werden. Voraussetzung sind Grundkenntnisse in Computeralgebra und CoCoAL.

Zusammenfassung der Vorträge:

• Computeralgebra und automatische Beweise in der Geometrie
  Literatur: Cox-Little-O'Shea, loc.cit, Chapter 6, § 4 - 5
  
  Eine interessante Anwendung findet die Computeralgebra in der Umsetzung algorithmischer Methoden zum Beweis von Theoremen in der elementaren Geometrie. Um die qualitative Argumentaion, beispielsweise Aussagen über Ähnlichkeit von Dreiecken, die in der Geometrie üblich ist, durch algebraische Berechnungen zu ersetzen, wird die Ebene mit kartesischen Koordinaten versehen und Voraussetzungen und Behauptung eines Theorems als Polynomgleichungen mit den Koordinaten der involvierten Punkte als Variablen dargestellt.
  
  Der erste hier vorgestellte Algorithmus, der auch der erste effektiv programmierbare Ansatz überhaupt war, wurde 1977 von dem chinesischen Mathematiker Wu Wentsün vorgestellt. Diese Methode besteht aus einem Verfahren, die Polynome, die als Voraussetzung eines Theorems erhalten wurden in eine besondere Form zu bringen, die es erlaubt, das Polynom, das die Behauptung des Theorems repräsentiert, sukzessive durch diese zu dividieren. Dazu ist eine modifizierte Version des Divisionsalgorithmus für Polynome in mehreren Variablen notwendig, die Pseudodivision. Aus dem Ergebnis dieser Divisionen kann auf die Gültigkeit des Theorems unter bestimmten Bedingungen geschlossen werden. Wenn es gelingt, diese Zusatzbedingungen als ausgeartete Fälle der zugrundeliegenden geometrischen Konstruktion zu deuten, ist das Theorem bewiesen.
  
  Eine weitere Methode beruht ebenfalls auf einer Manipulation der Polynome, die die Voraussetzung des Theorems repräsentieren. Dabei wird davon Gebrauch gemacht, daß die Gröbner-Basis des von diesen Polynomen erzeugten Ideals bezüglich der lexikographischen Termordnung LEX eine besondere Gestalt hat, da LEX eine Eliminationstermordnung ist. Nach Auswahl geeigneter Polynome aus dieser Basis ist es wieder möglich das Polynom, das die Behauptung des Theorems darstellt, mittels Pseudodivision sukzessive durch die ausgewählten Polynome zu teilen. Wiederum läßt das Ergebnis dieser Divisionen Rückschlüsse auf die Gültigkeit des Theorems unter bestimmten Bedingungen zu.
  
  Beide Methoden wurden in CoCoAL programmiert und anhand einiger Beispiele miteinander verglichen.   (Robert Forkel)
  
  <wu.coc>                 Implementation von Wu's Methode
  <gbmethod1.coc>  Eine vereinfachte Version der Gröbner-Basis Methode
  <gbmethod2.coc>   Implementation der Gröbner-Basis Methode
  <vergleich.log>      Vergleich der beiden Methoden
  
  <apollonius.log>     Beweis des Satzes von Apollonius
  <hoehensatz.log>   Beweis des Höhensatzes
  <parallel.log>           Der Schnittpunkt der beiden Diagonalen eines Parallelogramms halbiert diese.
  <trapezoid.log>       Die Gerade durch die Mitten der Diagonalen eines Trapezes halbiert die Seiten.
  
  
  Weitere Vorträge:

1. Computeralgebra und Robotik
   Literatur: Cox-Little-O'Shea, Ideals, Varieties, and Algorithms, Springer Undergraduate Texts in Mathematics, New York 1992, Chapter 6, § 1 - 3  
2. Computeralgebra und Statistik
   Literatur: Robbiano, Gröbner Bases and Statistics, Preprint 1997  
3. Computeralgebra und Kodierungstheorie
   Literatur: Sakata, Gröbner Bases and Coding Theory, in: Buchberger-Winkler (Hrsg.), Gröbner Bases and Applications, London Math. Soc. Lecture Notes 251, S. 205 ff 
4. Computeralgebra und Triebwerksdesign
   Literatur: Grabmeier, An application of a symbolic version of the Raleigh-Ritz method to the design of aircraft turbines, Preprint 1995
5. Computeralgebra und künstliche Intelligenz
   Literatur: Donald, Symbolic and numerical computation for artificial intelligence
6. Computeralgebra und Photogrammetrie
   Literatur: Maybank, Theory of reconstruction from image motion, Springer, Berlin 1993 
7. Computeralgebra und Finanzmathematik
   Literatur: Markowicz, Modern Portfolio Theory
8. Computeralgebra und explizite Lösung von Differenzialgleichungen
   Literatur: Gander-Hrebicek, Solving Problems in Scientific Computing using Maple and Matlab, Springer, Berlin 1993
     

Letzte Änderung: 17.6.98
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