Vorlesung "Computeralgebra I" (WS 1998/99)

Termin: WS 1998/99, 4 st.

Ort und Zeit: Di, 14-16 Uhr sowie Fr, 13-15 Uhr im Raum M 103

Voraussetzungen: Lineare Algebra I + II, Algebra I

Literatur:

• M. Kreuzer, L. Robbiano, Computational Commutative Algebra (Springer, Heidelberg 2000)
• D. Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Math, Springer 1995 (Kapitel 15)
• D. Cox, J. Little und D. O'Shea, Ideals, Varieties and Algorithms, Undergraduate Texts in Math, Springer 1992 (Kapitel 2 und 3)

Die Vorlesung kann als Einstieg in eine Diplomarbeit oder eine Zulassungsarbeit bei mir dienen. Wenn Interesse besteht, findet im SS 1999 auch ein Seminar über spezielle Themen aus der Computeralgebra (z.B. Anwendungen in der Industrie) statt.

Vorlesungsinhalt

1.   Polynomringe
2.   Faktorialität des Polynomrings
3.   Monomiale Ideale und Moduln
4.   Termordnungen
5.   Leitterme
6.   Der Divisionsalgorithmus
7.   Graduierungen

Kapitel 2: Gröbner-Basen 

1.   Spezielle Erzeugendensysteme
2.   Ersetzungsregeln
3.   Syzygien
4.   Gröbner-Basen von Idealen und Moduln
5.   Buchbergers Algorithmus
6.   Hilberts Nullstellensatz

Kapitel 3: Erste Anwendungen 

1.   Elimination
2.   Algebraische Gleichungssysteme
3.   Berechnung von Syzygienmoduln
4.   Modulhomomorphismen
5.   Algebrenhomomorphismen
6.   Elementare modultheoretische Operationen
7.   Annullatoren und Colonmoduln
8.   Saturierungen

Übungen

Termin, Ort: Mi, 14-16 Uhr im Raum M 103

CIP Pool Reservierung: Do, 16-18 Uhr

Inhalt:

• Einführung in das Computeralgebraprogramm "CoCoA"
• Übungsaufgaben zur Vorlesung
• Programmierung von Algorithmen der Vorlesung in "CoCoA"

Lösungen der Programmieraufgaben:

• Tutorium  1: Polynomdarstellung (1)

<tut01.coc>  (Fabian Theis), vereinfachte Version (für n=2) <tut1simp.coc>  (Fabian Theis)
• Tutorium  2: Der erweiterte Euklidische Algorithmus

<tut02.coc>  (Stephan Otto)
• Tutorium  3: Endliche Körper

<tut03.coc>  (Linus Görlitz)
• Tutorium  4: Strikt Euklidische Ringe

(Fabian Theis)
• Tutorium  5: Quadratfreie Teile von Polynomen

<tut05.coc> (Linus Görlitz)
• Tutorium  6: Faktorisierung von Polynomen in einer Veränderlichen über endlichen Körpern

<tut06.coc>  (Alexander Zellner) <tut06.dvi> <tut06.ps> (Martin Kreuzer) <tut06e.coc>
• Tutorium  7: Kogeneratoren

<tut07.coc>  (Claudia Jung)
• Tutorium  8: Minimale monomiale Erzeugendensysteme

<tut08.coc>  (Thomas Eisenmann)
• Tutorium  9: Grundlegende Operationen mit monomialen Idealen und Moduln

<tut09.coc> (Jens Schmidbauer)
• Tutorium 10: Durch Matrizen repräsentierte Monoidordnungen

(Arndt Wills) <tut10.coc> <tut10.ps>
• Tutorium 11: Klassifikation von Termordnungen

(Alexander Zellner) <tut11.coc>
• Tutorium 12: Polynomdarstellung (2)

<tut12.coc>  (Stephan Otto)  <tut12.log>
• Tutorium 13: Symmetrische Polynome

<tut13.coc>  (Birgit Rotheigner) <tut13.log>
• Tutorium 14: Newton-Polytope

(Claudia Jung)
• Tutorium 15: Implementation des Divisionsalgorithmus
  (Arndt Wills) <tut15.coc>
• Tutorium 16: Der normale Reduktionsalgorithmus

(Thomas Eisenmann) <tut16.coc>
• Tutorium 17: Homogene Polynome

(Andreas Rust)
• Tutorium 18: Minimalpolynome algebraischer Zahlen

(Birgit Rotheigner) <tut18.coc> <tut18b.coc> <tuto18>
• Tutorium 19: Algebraische Zahlen
• Tutorium 20: Syzygien monomialer Moduln

(Jens Schmidbauer) <tut20.coc>
• Tutorium 21: Liftung von Syzygien
• Tutorium 22: Lineare Algebra

(Andreas Rust)
• Tutorium 23: Reduzierte Gröbner Basen
• Tutorium 24: Berechnung einiger Gröbner-Basen
• Tutorium 25: Optimierungen des Buchberger-Algorithmus
• Tutorium 26: Graphenfärbungen
• Tutorium 27: Affine und projektive Räume

• Zur Erlangung des Übungsscheins ist eine regelmäßige und aktive Teilnahme an den Übungsstunden notwendig.
• Der Übungsschein ist mit ** gekennzeichnet und zählt für die Zulassung zur Diplom-Hauptprüfung.
• Der Übungsschein zählt außerdem als Leistung für die EDV-Ergänzungausbildung (Fortgeschrittenenausbildung, Gebiet F8: Programmierung komplexer Algorithmen)

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