Formeln und Werte

IFS-Fraktale

Hinweis zu den IFS-Werten

Barnsley-Farn · Drachenkurve

IFS-Tanne · IFS-Kunstbaum · IFS-Gebilde (alle aus der Bilder-Galerie)

"Komplexe" Fraktale

Mandelbrot-Fraktal · Julia-Fraktal

IFS-Fraktale

Hinweis zu den IFS-Fraktalen

Das iterierte Funktionssystem IFS besteht aus mehreren affinen Abbildungen, die in folgender Form dargestellt sind:

Barnsnley-Farn

a	b	c	d	e	f
0.00	0.00	0.00	0.00	0.16	0.00
0.20	-0.26	0.00	0.23	0.22	1.00
-0.15	0.28	0.00	0.26	0.24	0.44
0.86	0.04	0.00	-0.04	0.86	1.50

Drachenkurve

a	b	c	d	e	f
0.50	0.50	0.50	-0.50	0.50	0.00
-0.50	-0.50	-0.50	0.50	-0.50	0.00

IFS-Tanne

a	b	c	d	e	f
0.60	0.00	1.80	0.00	0.60	3.60
0.60	0.00	1.80	0.00	0.60	1.20
0.40	0.30	2.70	-0.30	0.40	3.60
0.40	-0.30	2.70	0.30	0.40	0.90

IFS-Baum

a	b	c	d	e	f
0.00	0.00	0.00	0.00	0.30	0.06
0.10	0.00	0.00	0.00	0.10	0.20
0.41	-0.41	0.00	0.41	0.41	0.20
0.41	0.41	0.00	-0.41	0.41	0.20

IFS-Gebilde

a	b	c	d	e	f
0.35	-0.30	0.00	0.30	0.35	0.00
0.50	-0.10	2.50	0.10	0.50	-0.50
0.60	0.20	0.00	-0.20	0.60	2.50

"Komplexe" Fraktale

Mandelbrot-Fraktal

Grundlage ist die komplexe Iteration z_n+1 =  z_n² + c. Eine kurze Einführung in komplexe Zahlen gibt es hier.

Es sei z_n  =  x_n + y_ni und c = a + bi, dann ergibt sich für z_n+1  =  x_n+1 + y_n+1i (man beachte i²=-1):

x_n+1 + y_n+1i  =  z_n+1  =  z_n² + c  =  (x_n + y_ni)²  +  a + bi 
=  (x_n² + 2x_ny_ni  + (y_ni)²) + a + bi  =  (x_n² - y_n²  + a) + (2x_ny_n + b)i

Zusammengefasst ergibt sich folgende Iteration:

Man führt die Iteration so lange aus, bis der Betrag von z_n den Grenzwert zwei überschritten hat (dann ist die Folge nämlich nicht beschränkt) oder n eine Grenze, die sog. Iterationstiefe (MaxIter), überschritten hat:

Der Startwert der Iteration lautet z₀ = 0, also x₀ = 0 und y₀ = 0. Die Konstante c = a + bi lässt sich aus der Position der Bildschirmpixel (px, py) −> (a, b) berechnen.

In den meisten Fraktalbildern (Farbdarstellung 1) ist der Farbindex für den Pixel gleich der Anzahl der Schritte n, bis die Abbruch-Bedingung erreicht wurde. Der Farbindex MaxIter+1 enthält dabei die Farbe für die eigentliche Mandelbrot-Menge, wobei jedoch zu beachten ist, dass je nach Iterationstiefe immer etwas mehr als die Mandelbrot-Menge in der Farbe MaxIter+1 dargestellt ist. Bei hohen Iterationstiefen, nähert man sich aber der Menge schon sehr gut an.

Weitere Möglichkeiten zur farbigen Darstellung gibt es im Exkurs Farbdarstellungsformen.

Und jetzt einige Fenster (a₁, b₁) - (a₂, b₂), die als Vergrößerungsfenster interessant sind:

a1	b1	a2	b2
-2.000	-2.000	2.000	2.000	Das ganze Fraktal
-0.750	0.105	-0.750	0.110	Spiralen
-0.135	0.980	-0.125	0.990	Ein kleines Apfelmännchen-Abbild
-0.673	0.456	-0.667	0.460	seltsame Sterne

Julia-Fraktal

Die Iteration ist wie bei der Mandelbrot-Menge z_n+1 = z_n² + c. Mit z_n = x_n + y_ni und c = a + bi, ergibt sich für z_n+1 = x_n+1 + y_n+1i (siehe oben):

Auch hier führt man die Iteration so lange aus, bis der Betrag von z_n den Grenzwert zwei überschritten hat (dann ist die Folge nämlich nicht beschränkt) oder n eine Grenze, die sog. Iterationstiefe (MaxIter), überschritten hat:

Und jetzt zum Unterschiedlichem: Die Startwerte z₁ = x₁ + y₁ ergeben sich aus der Position der Bildschirmpixel (px, py) --> (x₁, y₁). Die Zahl c ist dagegen konstant und bestimmt das Aussehen der Julia-Fraktale.

Bei der farbigen Darstellung der Menge gilt das gleiche wie für die Mandelbrotmenge, nur dass die Farbdarstellung 2 hier nicht geeignet ist (es ergibt sich nur eine Farbe).

Einige Zahlen c, die schöne Fraktale liefern:

c
-1	schwarzes, knotiges Etwas
-0.75 + 0.136i	Spiralen
-0.548 + 0.649i	5-Sternenwelt
-0.67017 + 0.45809i	7-Sternenwelt
0.4 + 0.4i	sternenartige Spiralen